Cantidades variables, constantes y valor desconocido

Al terminar vas a poder distinguir en una situación cuáles cantidades cambian y cuáles se mantienen fijas, escribir la relación entre dos cantidades que cambian, y encontrar el valor desconocido de una ecuación usando la operación inversa.

Lo que cambia y lo que no

En cualquier situación de la vida hay números de dos clases.

Una cantidad constante es la que no cambia mientras dura la situación. Una cantidad variable es la que puede tomar distintos valores.

Si el pasaje del bus de Pérez Zeledón cuesta ₡400 y varios estudiantes compran pasajes:

• El precio de cada pasaje, ₡400, es constante: vale igual para todos.
• La cantidad de pasajes que compra cada quien es variable: uno compra 1, otro 3, otro 10.
• El total que paga cada quien también es variable, porque depende de cuántos pasajes compre.

Una misma cantidad puede ser constante en una situación y variable en otra. Si mañana suben el pasaje, el precio cambia; pero dentro de este problema se queda fijo, y eso es lo que lo hace constante acá.

La relación entre dos variables

Cuando dos cantidades variables cambian juntas, se puede escribir una expresión que las conecte. En el ejemplo del bus:

total = 400 × cantidad de pasajes

Y como escribir «cantidad de pasajes» cada vez es largo, se usa una letra. Si p es la cantidad de pasajes y t es el total:

t = 400 × p

La letra no es un misterio: es solo un nombre corto para una cantidad que cambia. Fijate en que el 400 se quedó como número, porque es la constante; lo que se pone con letra es lo que varía.

Encontrar el valor desconocido

Una ecuación es una igualdad donde hay un valor que no se conoce, escrito con una letra o con un cuadrito. Resolverla es averiguar qué número la hace verdadera.

El procedimiento sale de una idea simple: deshacer lo que le hicieron al número desconocido, usando la operación inversa.

Mirá x + 15 = 42. Al desconocido le sumaron 15. Para deshacerlo, resto 15 a los dos lados:

x = 42 − 15 = 27

Comprobación: 27 + 15 = 42. Verdadero.

Y 6 × n = 54. Al desconocido lo multiplicaron por 6. Divido entre 6:

n = 54 ÷ 6 = 9

Comprobación: 6 × 9 = 54. Verdadero.

La comprobación no es opcional. Es el paso que te dice si acertaste, y toma cinco segundos: se pone el valor encontrado en el lugar de la letra y se revisa que la igualdad se cumpla.

Cuando hay dos operaciones

Si al desconocido le hicieron dos cosas, se deshacen en orden inverso: primero la última que le hicieron.

Mirá 3 × a + 5 = 26. Primero lo multiplicaron por 3 y después le sumaron 5. Entonces deshago primero la suma:

• 3 × a = 26 − 5 = 21
• a = 21 ÷ 3 = 7

Comprobación: 3 × 7 + 5 = 21 + 5 = 26. Verdadero.

Ejemplos resueltos

1. Separar constantes y variables. En una pulpería, el kilo de arroz cuesta ₡1 190 y cada cliente compra la cantidad que quiere. Identificá qué es constante y qué es variable.

• Constante: el precio por kilo, ₡1 190.
• Variables: los kilos que compra cada cliente y el total que paga cada uno.

2. Escribir la relación. Escribí la relación entre los kilos (k) y el total (t) del ejemplo anterior, y calculá el total de 4 kilos.

• t = 1 190 × k.
• Con k = 4: t = 1 190 × 4 = ₡4 760.

3. Ecuación con resta. Resolvé y − 8 = 20.

• Al desconocido le restaron 8, así que sumo 8: y = 20 + 8 = 28.
• Comprobación: 28 − 8 = 20.

4. Ecuación con división. Resolvé 84 ÷ m = 12.

• Si 84 dividido entre m da 12, entonces m × 12 = 84.
• m = 84 ÷ 12 = 7.
• Comprobación: 84 ÷ 7 = 12.

5. Un problema que se vuelve ecuación. Marcela tenía unos colones, gastó ₡1 500 en el recreo y le quedaron ₡2 300. ¿Cuánto tenía?

• Llamo x a lo que tenía: x − 1 500 = 2 300.
• x = 2 300 + 1 500 = ₡3 800.
• Comprobación: 3 800 − 1 500 = 2 300.

6. Dos operaciones. Resolvé 2 × b − 7 = 15.

• Deshago primero la resta: 2 × b = 15 + 7 = 22.
• Después la multiplicación: b = 22 ÷ 2 = 11.
• Comprobación: 2 × 11 − 7 = 22 − 7 = 15.

Los errores que más se cobran

• Llamar variable a todo número que aparece. Se dice que el precio del pasaje es variable porque «los precios suben». Pasa por salirse de la situación planteada. Dentro del problema, lo que se mantiene igual para todos los casos es constante.
• Usar la misma operación en vez de la inversa. En x + 15 = 42 se calcula 42 + 15 = 57. Pasa porque el signo + está a la vista y la mano lo repite. Para despejar hay que hacer lo contrario de lo que le hicieron al desconocido.
• Deshacer las dos operaciones en el orden equivocado. En 3 × a + 5 = 26 se hace primero 26 ÷ 3. Pasa porque la multiplicación se lee primero en el renglón. Se deshace al revés: lo último que le hicieron al desconocido es lo primero que se quita.
• No comprobar. Se entrega un valor sin sustituirlo. Pasa por apuro o por confianza. La comprobación atrapa casi todos los errores de despeje y toma segundos.
• Escribir la relación al revés. Para el bus se escribe p = 400 × t. Pasa por copiar los símbolos en el orden en que aparecen en la frase. Preguntate cuál cantidad depende de cuál: el total depende de los pasajes, así que el total va solo a un lado del igual.

Cómo acompañar en casa

Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.

Al terminar, el estudiante tiene que poder: distinguir cantidades variables de constantes y hallar el valor desconocido.

Tres preguntas para hacerle

1. ¿Todo número que aparece es variable? → No: la tarifa fija es constante
2. En «₡700 por kilómetro», ¿qué es constante? → El precio por kilómetro
3. ¿Y qué es variable? → La distancia

Si se traba. Si llama variable a todo, pregúntele qué cambia de un viaje a otro y qué no.

Cinco minutos en la casa. Con el recibo de la luz, que diga qué es fijo y qué cambia cada mes.

Clave de análisis

Buscá primero qué se queda fijo (constante) y qué cambia (variable); la relación se escribe poniendo la constante como número y las variables como letras. Para resolver una ecuación, identificá qué le hicieron al desconocido y deshacelo con la operación inversa, empezando por la última. Y comprobá siempre sustituyendo el valor que encontraste.