Tablas de variación y expresiones con letras

Al terminar vas a poder armar y leer una tabla de dos cantidades que cambian juntas, descubrir la regla que las relaciona, y traducir a números y letras una expresión que te den escrita con palabras.

La tabla de dos columnas

Cuando dos cantidades varían juntas, la mejor forma de verlas es una tabla de dos columnas: en la izquierda la cantidad que manda, en la derecha la que obedece.

El pasaje del bus cuesta ₡400. La tabla queda así:

Para leerla no hay que memorizar nada: se busca el valor en una columna y se lee el de al lado.

Descubrir la regla

Lo interesante de una tabla es la regla que la genera. Para encontrarla:

1. Mirá cómo cambia la columna de la derecha cuando la izquierda sube de uno en uno. Acá sube de 400 en 400: eso sugiere que hay una multiplicación por 400.
2. Probá la regla en todos los renglones, no en uno solo. Con p = 3: 400 × 3 = 1 200. Calza.
3. Escribila con letras: t = 400 × p.

Cuidado con las tablas que además llevan una cantidad fija. Mirá esta, de un taxi que cobra ₡700 de banderazo más ₡500 por kilómetro:

La columna derecha sube de 500 en 500, así que hay un «× 500». Pero con k = 1 el monto no es 500, sino 1 200: sobran 700, que es el banderazo. La regla es m = 700 + 500 × k. Comprobación con k = 3: 700 + 1 500 = 2 200. Calza.

Escribir con números y letras

Traducir una frase a lenguaje matemático es el paso que abre el álgebra. Estas son las traducciones que se repiten:

Fijate en las dos últimas: no son lo mismo. En «el doble de un número más 5» primero se dobla y después se suma; en «el doble de la suma» primero se suma y por eso lleva paréntesis. Con n = 4: la primera da 2 × 4 + 5 = 13 y la segunda da 2 × (4 + 5) = 18.

Las letras también sirven para escribir fórmulas que ya conocés: el perímetro de un cuadrado de lado l es P = 4 × l, y el área de un rectángulo de base b y altura h es A = b × h.

Ejemplos resueltos

1. Completar una tabla. Una pulpería vende el kilo de azúcar a ₡950. Completá la tabla para 1, 2, 3 y 6 kilos.

• Las cuentas: 950 × 2 = 1 900; 950 × 3 = 2 850; 950 × 6 = 5 700.
• Regla: t = 950 × k.

2. Descubrir la regla. Una tabla da: cuando x vale 1, y vale 7; cuando x vale 2, y vale 12; cuando x vale 3, y vale 17; cuando x vale 4, y vale 22. ¿Cuál es la regla?

• La columna de y sube de 5 en 5, así que aparece un «× 5».
• Con x = 1, 5 × 1 = 5, pero y vale 7: sobran 2.
• Regla: y = 5 × x + 2.
• Comprobación con x = 4: 5 × 4 + 2 = 20 + 2 = 22. Calza.

3. De palabras a letras. Escribí con números y letras: «el triple de un número, disminuido en 4».

• Triple: 3 × n. Disminuido en 4: se resta 4.
• 3 × n − 4.

4. Con paréntesis. Escribí: «la mitad de la suma de un número y 8», y calculá su valor si el número es 10.

• Primero la suma, así que lleva paréntesis: (n + 8) ÷ 2.
• Con n = 10: (10 + 8) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9.

5. Usar la tabla al revés. Con la regla del taxi, m = 700 + 500 × k, ¿cuántos kilómetros recorrió alguien que pagó ₡4 200?

• 4 200 − 700 = 3 500 corresponden a los kilómetros.
• 3 500 ÷ 500 = 7 kilómetros.
• Comprobación: 700 + 500 × 7 = 700 + 3 500 = 4 200.

Los errores que más se cobran

• Sacar la regla de un solo renglón. Con el taxi se ve que 1 km cuesta ₡1 200 y se escribe m = 1 200 × k. Pasa por confiar en el primer dato. Al probar con k = 2 daría 2 400 y la tabla dice 1 700: la regla tiene que calzar en todos los renglones.
• Olvidar la cantidad fija. Se escribe m = 500 × k para el taxi. Pasa porque el salto constante de 500 salta a la vista y el banderazo está escondido. La cantidad fija se descubre comparando el primer valor con lo que daría la multiplicación sola.
• Confundir «el doble de un número más 5» con «el doble de la suma». Se escribe 2 × (n + 5) para la primera. Pasa porque las dos frases suenan casi iguales. Si la frase dice «de la suma», va paréntesis; si no lo dice, no va.
• Poner la letra donde va el número fijo. Se escribe p = 400 × t en vez de t = 400 × p. Pasa por copiar el orden de la frase. La letra sola a la izquierda del igual es la cantidad que obedece.
• Leer la tabla en la columna equivocada. Se busca 1 200 en la columna de los kilómetros. Pasa por apuro. Conviene rotular las columnas con su unidad antes de empezar a buscar.

Cómo acompañar en casa

Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.

Al terminar, el estudiante tiene que poder: armar una tabla de dos cantidades y escribir su regla con letras.

Tres preguntas para hacerle

1. ¿Se saca la regla de un solo renglón? → No: hay que comprobarla en todos
2. Si 1 km cuesta ₡1200 y hay tarifa base, ¿la regla es 1200n? → No: falta sumar la base
3. ¿Cómo se comprueba la regla? → Probándola en cada fila

Si se traba. Si saca la regla de un renglón, pídale que la pruebe en el segundo y el tercero antes de darla por buena.

Cinco minutos en la casa. Armen una tabla con un gasto de la casa y que escriba su regla.

Clave de análisis

Armá la tabla con la cantidad que manda a la izquierda. Para hallar la regla, mirá de cuánto en cuánto sube la derecha —eso da el factor— y después comprobá si el primer valor calza; si sobra algo, esa es la cantidad fija que se suma. Traducí las frases palabra por palabra y usá paréntesis solo cuando la frase diga que la suma o la resta se hace primero. Y probá siempre la regla en todos los renglones antes de darla por buena.