Cubos y prismas rectangulares: aristas paralelas y perpendiculares y los planos de las caras
Al terminar vas a poder identificar cubos y prismas rectangulares en los objetos del entorno, reconocer cuáles de sus aristas son paralelas y cuáles perpendiculares, y hablar de los planos de sus caras.
El prisma rectangular y el cubo
El prisma rectangular es el cuerpo sólido con seis caras que son rectángulos: la caja de zapatos, la de cereal, un ladrillo, un pupitre, un edificio.
El cubo es el prisma rectangular con las seis caras cuadradas e iguales: el dado, un cubo de hielo, una caja de regalo pareja.
| Prisma rectangular | Cubo | |
|---|---|---|
| caras | 6 rectángulos | 6 cuadrados iguales |
| aristas | 12 | 12, todas iguales |
| vértices | 8 | 8 |
Todo cubo es un prisma rectangular; no todo prisma rectangular es un cubo. Lo que lo vuelve cubo es que el largo, el ancho y el alto midan lo mismo.
Las aristas paralelas
Las aristas son los segmentos donde se juntan dos caras, y en el prisma se organizan en tres grupos de cuatro:
- las 4 del largo, todas paralelas entre sí;
- las 4 del ancho, todas paralelas entre sí;
- las 4 verticales del alto, todas paralelas entre sí.
Dentro de cada grupo las aristas van en la misma dirección y nunca se tocan, por más que se alarguen: son paralelas. Y dentro de un mismo grupo todas miden lo mismo.
Contá: 4 + 4 + 4 = 12 aristas. Ese es el control para no perder ninguna al contarlas en el dibujo.
Las aristas perpendiculares
En cada vértice del prisma se juntan tres aristas, una de cada grupo, y las tres forman ángulos rectos entre sí. O sea que son perpendiculares dos a dos.
La regla práctica: dos aristas del mismo grupo son paralelas; dos aristas de grupos distintos que se tocan en un vértice son perpendiculares.
Hay un tercer caso que conviene nombrar: dos aristas de grupos distintos que no se tocan ni son paralelas. Por ejemplo, una arista de arriba al frente y una vertical de atrás. Esas no son ni paralelas ni perpendiculares: van cada una por su lado en el espacio.
Los planos de las caras
Un plano es una superficie totalmente lisa que se extiende sin terminar, en todas las direcciones. Es como la recta, pero en vez de una línea es una superficie.
Cada cara del prisma es un pedazo de plano: la cara es lo que se ve, y el plano es esa misma superficie estirada sin fin.
Pensá en la pared del aula. La pared es una cara; el plano es esa misma superficie imaginada atravesando el edificio y siguiendo hasta donde uno quiera.
Por eso se habla de los planos de las caras del prisma: son seis, uno por cara, y cada par de caras opuestas comparte dirección.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. En una caja de zapatos, ¿cuántas aristas son paralelas a una arista del largo?
Las aristas del largo son 4 en total. Tomando una de ellas, las otras 3 son paralelas a esa.
Ejemplo 2. Un cubo tiene aristas de 3 cm. ¿Cuánto miden todas sus aristas juntas y cuánto mide una cara?
- Todas las aristas: 12 × 3 = 36 cm.
- Cada cara es un cuadrado de 3 cm de lado, así que su área es 3 × 3 = 9 cm².
Ejemplo 3. En el aula, el piso y una pared. ¿Sus planos cómo se relacionan? ¿Y el piso con el cielo raso?
- El piso y la pared se juntan formando ángulo recto: sus planos son perpendiculares.
- El piso y el cielo raso están siempre a la misma distancia y nunca se tocan: sus planos son paralelos.
Los errores que más se cobran
- Contar 8 o 9 aristas. Las de atrás quedan punteadas o tapadas en el dibujo en perspectiva. Contá por grupos de cuatro: largo, ancho y alto.
- Confundir cara con arista. La cara es la superficie, la arista es el filo donde se juntan dos caras.
- Decir que dos aristas cualesquiera de grupos distintos son perpendiculares. Solo lo son si se tocan en un vértice. Si no se tocan, no son ni paralelas ni perpendiculares.
- Creer que el plano se acaba donde se acaba la cara. La cara es un pedazo; el plano sigue sin fin. Por eso se pueden comparar planos de caras que en el cuerpo no se tocan.
- Llamar cubo a cualquier caja. Solo es cubo si las tres medidas son iguales y las seis caras son cuadrados.
Clave de análisis
Prisma rectangular: 6 caras, 12 aristas en tres grupos de cuatro, 8 vértices. Mismo grupo quiere decir paralelas; grupos distintos que se tocan en un vértice, perpendiculares. Y el plano de una cara es esa superficie estirada sin fin.