Geometría
Planos paralelos y perpendiculares y los cuadriláteros que forman las caras
Al terminar vas a poder decir cuáles planos de un prisma rectangular son paralelos y cuáles perpendiculares, y reconocer qué cuadriláteros forman sus caras.
Cuándo dos planos son paralelos
Dos planos son paralelos cuando están siempre a la misma distancia y no se cortan nunca, por más que se extiendan.
En un prisma rectangular eso pasa con las caras opuestas, que son las que están una enfrente de la otra:
| Par de caras opuestas | Sus planos |
|---|---|
| la de arriba y la de abajo | paralelos |
| la de adelante y la de atrás | paralelos |
| la de la derecha y la de la izquierda | paralelos |
Son tres pares de planos paralelos. Y como el prisma tiene seis caras, cada una tiene exactamente una cara paralela: la de enfrente.
En el aula: el piso y el cielo raso están en planos paralelos; las dos paredes largas, también.
Cuándo dos planos son perpendiculares
Dos planos son perpendiculares cuando se cortan formando ángulo recto.
En el prisma eso pasa con las caras vecinas, las que comparten una arista. La cara de arriba y la del frente se juntan en una arista y forman ángulo recto: sus planos son perpendiculares.
Cada cara del prisma es perpendicular a cuatro caras —las cuatro que la rodean— y paralela a una: la de enfrente. Cuatro más una son cinco, que son todas las demás caras.
En el aula: el piso es perpendicular a las cuatro paredes, y paralelo solo al cielo raso.
Los cuadriláteros de las caras
Cada cara del prisma es un polígono de cuatro lados, o sea un cuadrilátero. Y ahora que sabés clasificar cuadriláteros, se puede decir exactamente cuál:
| Cuerpo | Qué cuadrilátero es cada cara |
|---|---|
| cubo | las seis caras son cuadrados, todos iguales |
| prisma rectangular | las seis caras son rectángulos |
En el prisma rectangular las caras vienen en tres pares iguales: las dos de arriba y abajo miden lo mismo entre sí, las dos del frente y atrás también, y las dos de los costados también.
Una caja de 20 cm de largo, 10 cm de ancho y 8 cm de alto tiene:
- dos caras de 20 por 10;
- dos caras de 20 por 8;
- dos caras de 10 por 8.
Todas son rectángulos, y todos ellos son paralelogramos, porque el rectángulo tiene los dos pares de lados opuestos paralelos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. En una caja de cereal, ¿cuántas caras son paralelas a la del frente y cuántas perpendiculares?
- Paralela: 1, la de atrás.
- Perpendiculares: 4, las de arriba, abajo, derecha e izquierda.
Comprobación: 1 + 4 = 5, que son todas las caras menos ella misma. Y 5 + 1 = 6 caras en total.
Ejemplo 2. Un cubo de 4 cm de arista: ¿qué figura es cada cara y cuánto mide su área?
Cada cara es un cuadrado de 4 cm de lado.
Área de una cara: 4 × 4 = 16 cm².
Las seis caras juntas: 6 × 16 = 96 cm².
Ejemplo 3. Una caja mide 20 cm de largo, 10 cm de ancho y 8 cm de alto. ¿Cuánto mide el área de cada tipo de cara?
- Arriba y abajo: 20 × 10 = 200 cm² cada una.
- Frente y atrás: 20 × 8 = 160 cm² cada una.
- Los costados: 10 × 8 = 80 cm² cada una.
Comprobación del total: 2 × 200 + 2 × 160 + 2 × 80 = 400 + 320 + 160 = 880 cm².
Los errores que más se cobran
- Decir que dos caras vecinas son paralelas porque «se parecen». Las vecinas comparten arista y forman ángulo recto: son perpendiculares. Las paralelas son las de enfrente, que no se tocan.
- Creer que cada cara es paralela a dos caras. Solo a una. Pasa por confundir las tres direcciones del prisma con las caras individuales.
- Llamar cuadrado a la cara de un prisma cualquiera. Solo en el cubo las caras son cuadrados. En la caja son rectángulos, y de tres tamaños distintos.
- Contar solo las caras que se ven en el dibujo. En perspectiva se ven tres; las otras tres están detrás. Siempre son seis.
- Multiplicar las tres medidas para el área de una cara. El área de una cara usa dos medidas, las de esa cara. Las tres juntas serían otra cosa.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: decir cuáles planos de un prisma son paralelos y cuáles perpendiculares.
Tres preguntas para hacerle
- Dos caras vecinas de una caja, ¿son paralelas? → No: son perpendiculares
- ¿Cuáles caras son paralelas? → Las opuestas
- ¿Cómo se sabe? → Las paralelas no se tocan; las perpendiculares comparten arista
Si se traba. Si dice que las vecinas son paralelas porque se parecen, muéstrele que comparten una arista.
Cinco minutos en la casa. Con una caja, que señale un par de caras paralelas y uno de perpendiculares.
Clave de análisis
En un prisma, las caras opuestas están en planos paralelos y las caras vecinas en planos perpendiculares: una paralela y cuatro perpendiculares por cada cara. Las caras del cubo son cuadrados y las del prisma rectangular son rectángulos, en tres pares iguales.