Geometría
Ejes de simetría, puntos homólogos y cómo trazar una figura simétrica
Al terminar vas a poder encontrar los ejes de simetría de una figura, ubicar el punto homólogo de otro respecto a una recta, trazar una figura simétrica y estimar la distancia de un punto al eje.
Qué es un eje de simetría
Un eje de simetría es una recta que parte una figura en dos partes que coinciden exactamente al doblar por esa recta.
La prueba es literal: si dibujás la figura en un papel, la doblás por el eje y las dos mitades se tapan una a la otra sin que sobre nada, esa recta es un eje de simetría. Si sobra o falta, no lo es.
Cuidado: no toda línea que parte la figura en dos partes iguales de tamaño es eje de simetría. La diagonal de un rectángulo lo parte en dos triángulos del mismo tamaño, pero al doblar no coinciden: uno queda volteado respecto al otro.
Cuántos ejes tiene cada figura
| Figura | Ejes de simetría |
|---|---|
| cuadrado | 4: los dos del medio y las dos diagonales |
| rectángulo | 2: solo los dos del medio |
| rombo | 2: sus dos diagonales |
| romboide | 0 |
| triángulo equilátero | 3 |
| triángulo isósceles | 1 |
| triángulo escaleno | 0 |
| circunferencia | muchísimos: cualquier diámetro |
Fijate en el rectángulo: sus diagonales no son ejes, aunque en el cuadrado sí lo sean. La diferencia está en que en el cuadrado los cuatro lados son iguales.
El punto homólogo
Dado un punto y una recta, el punto homólogo es el que queda del otro lado de la recta como si fuera su reflejo en un espejo.
Tiene que cumplir dos condiciones:
- Estar a la misma distancia de la recta que el punto original.
- Estar sobre la perpendicular a la recta que pasa por el punto original.
Cómo se ubica:
- Desde el punto, trazá una perpendicular al eje con la escuadra.
- Medí la distancia del punto al eje sobre esa perpendicular.
- Del otro lado del eje, sobre la misma perpendicular, medí esa misma distancia y marcá el punto.
Si el punto A está a 3 cm del eje, su homólogo A' está a 3 cm del eje, del otro lado, sobre la misma perpendicular.
Trazar una figura simétrica
La figura simétrica se construye punto por punto, y el orden importa:
- Marcá los vértices de la figura original.
- Ubicá el homólogo de cada vértice, uno por uno.
- Uní los homólogos en el mismo orden en que están unidos los originales.
Si los unís en otro orden, la figura sale cruzada.
Una comprobación final: la figura original y la nueva tienen que ser del mismo tamaño, con los lados iguales uno a uno. El reflejo no agranda ni achica.
La distancia al eje
La distancia de un punto al eje se mide sobre la perpendicular, que es el camino más corto. Medirla en diagonal da un número más grande y equivocado.
Estimarla también sirve: si el eje pasa por el medio de la hoja y el punto está como a un dedo del eje, la distancia anda por 1 cm y su homólogo va a quedar a un dedo del otro lado.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado y cuáles son?
Tiene 4: la vertical que pasa por el medio, la horizontal que pasa por el medio, y sus dos diagonales. Doblando por cualquiera de esas cuatro, las mitades coinciden.
Ejemplo 2. El punto B está a 5 cm a la izquierda de un eje vertical. ¿Dónde está su homólogo?
Sobre la perpendicular al eje que pasa por B, a 5 cm a la derecha del eje.
La distancia entre B y su homólogo es 5 + 5 = 10 cm.
Ejemplo 3. Un triángulo tiene sus vértices a 2 cm, 4 cm y 3 cm de un eje. ¿A qué distancia quedan los vértices del triángulo simétrico?
A las mismas: 2 cm, 4 cm y 3 cm, pero del otro lado del eje.
Y el triángulo simétrico tiene los lados del mismo largo que el original, porque el reflejo no cambia el tamaño.
Los errores que más se cobran
- Tomar la diagonal del rectángulo como eje de simetría. Parte en dos partes iguales de tamaño, pero al doblar no coinciden. Probá doblando el papel.
- Medir la distancia al eje en diagonal. Se mide sobre la perpendicular, que es el camino corto. Pasa por medir de punto a punto sin escuadra.
- Poner el homólogo a distinta distancia. El reflejo está a la misma distancia. Si te quedó más cerca o más lejos, medí otra vez.
- Unir los homólogos en desorden. Numerá los vértices originales y usá los mismos números en los homólogos antes de unir.
- Creer que la figura simétrica es la misma figura movida. Es el reflejo: lo que estaba a la derecha queda a la izquierda. Por eso una mano derecha se refleja como una izquierda.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: encontrar ejes de simetría y puntos homólogos.
Tres preguntas para hacerle
- ¿La diagonal del rectángulo es eje de simetría? → No: al doblar, las mitades no coinciden
- ¿Cuántos ejes tiene el cuadrado? → Cuatro
- ¿A qué distancia del eje queda el punto homólogo? → A la misma
Si se traba. Si toma la diagonal como eje, recorte un rectángulo y que lo doble por ahí: no coincide.
Cinco minutos en la casa. Recorten una figura de papel y que la doble para encontrar sus ejes.
Clave de análisis
Un eje de simetría es la recta por la que se puede doblar la figura y que las mitades coincidan. El homólogo de un punto está sobre la perpendicular al eje, a la misma distancia y del otro lado. Y la figura simétrica se arma vértice por vértice, uniendo en el mismo orden.