Geometría
Coordenadas en el primer cuadrante y traslaciones
Al terminar vas a poder ubicar puntos en el primer cuadrante usando pares de coordenadas, dibujar figuras uniendo esos puntos, y reconocer y realizar la traslación de una figura diciendo cuánto se movió en cada dirección.
El plano de coordenadas
Dos rectas numéricas que se cruzan en ángulo recto forman un plano de coordenadas. La horizontal se llama eje x y la vertical eje y. El punto donde se cruzan es el origen, y es el (0, 0).
La parte donde tanto x como y son positivos se llama primer cuadrante, y es la que vamos a usar: es la esquina de arriba a la derecha.
Cada punto se nombra con un par ordenado: (x, y). Se llama ordenado porque el orden importa muchísimo.
- El primer número dice cuánto caminar hacia la derecha desde el origen.
- El segundo número dice cuánto subir.
El punto (2, 3) no es el mismo que el (3, 2): el primero está dos a la derecha y tres arriba; el segundo, tres a la derecha y dos arriba. Una manera de no confundirse: primero se camina y después se sube, igual que para entrar a una casa primero se llega a la puerta y después se suben las gradas.
Figuras hechas con puntos
Si ubicás varios puntos y los unís en orden, aparece una figura. Y como el plano tiene cuadrícula, se pueden contar los lados directamente.
Ubiquemos A(2, 3), B(6, 3), C(6, 7) y D(2, 7), y unamos A con B, B con C, C con D y D con A.
- El lado AB va de x = 2 a x = 6 con la misma altura: mide 6 − 2 = 4 unidades.
- El lado BC va de y = 3 a y = 7 con la misma x: mide 7 − 3 = 4 unidades.
- Los cuatro lados miden 4, así que es un cuadrado.
- Perímetro: 4 × 4 = 16 unidades. Área: 4 × 4 = 16 unidades cuadradas.
La traslación: mover sin girar ni cambiar de tamaño
Trasladar una figura es correrla, sin girarla, sin voltearla y sin cambiarle el tamaño. Es como empujar una silla por el piso: llega a otro lado, pero es la misma silla.
Una traslación se describe con dos números: cuánto se mueve en horizontal y cuánto en vertical. Para trasladar un punto, se le suma ese movimiento a cada coordenada.
Trasladamos el cuadrado ABCD 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. A cada punto le sumo 3 en la x y 2 en la y:
| punto original | traslación | punto trasladado |
|---|---|---|
| A(2, 3) | +3, +2 | A'(5, 5) |
| B(6, 3) | +3, +2 | B'(9, 5) |
| C(6, 7) | +3, +2 | C'(9, 9) |
| D(2, 7) | +3, +2 | D'(5, 9) |
La figura trasladada tiene exactamente los mismos lados y la misma área: sigue siendo un cuadrado de lado 4, con perímetro 16 y área 16. Eso es lo que distingue una traslación de otros movimientos: cambia el lugar, no la forma ni el tamaño.
Para reconocer si una figura se obtuvo por traslación de otra, comprobá que todos los puntos se hayan movido lo mismo. Si uno se movió 3 a la derecha y otro 5, no es traslación.
Ejemplos resueltos
1. Ubicar puntos. Ubicá E(0, 4), F(5, 0) y G(3, 3).
- E(0, 4): no camino nada a la derecha y subo 4. Queda sobre el eje y.
- F(5, 0): camino 5 a la derecha y no subo. Queda sobre el eje x.
- G(3, 3): camino 3 y subo 3. Queda en la diagonal.
2. Un triángulo en el plano. Ubicá P(1, 1), Q(5, 1) y R(3, 4), unilos y calculá el área.
- La base PQ va de x = 1 a x = 5 a la misma altura: mide 4 unidades.
- La altura es la distancia vertical de R hasta la base: R está en y = 4 y la base en y = 1, así que mide 3 unidades.
- Área: (4 × 3) ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 unidades cuadradas.
3. Trasladar el triángulo. Trasladá PQR 2 unidades a la derecha y 1 hacia arriba.
- P(1, 1) → P'(3, 2).
- Q(5, 1) → Q'(7, 2).
- R(3, 4) → R'(5, 5).
- Comprobación: la base P'Q' va de 3 a 7, y mide 4; la altura sigue siendo 3; el área sigue siendo 6 unidades cuadradas.
4. Descubrir la traslación. Una figura tenía un vértice en (2, 5) y ahora está en (7, 3). ¿Cuál fue la traslación?
- En horizontal: 7 − 2 = 5 a la derecha.
- En vertical: 3 − 5 = 2 hacia abajo.
- La traslación fue de 5 a la derecha y 2 abajo.
5. ¿Es traslación? Un cuadrado de lado 4 se convirtió en un cuadrado de lado 8 en otro lugar del plano. ¿Es una traslación?
- No, porque cambió de tamaño. En una traslación la figura llega igualita a otro lugar.
Los errores que más se cobran
- Invertir las coordenadas. Se ubica (2, 5) en el lugar del (5, 2). Pasa porque al mirar el plano el ojo se va primero al eje vertical, que está más cerca del punto. El par es ordenado: primero x, después y.
- Empezar a contar desde el 1 y no desde el 0. Se ubica (3, 2) una casilla corrida. Pasa porque en la cuadrícula el primer cuadrito se ve como «el uno». Se cuenta desde el origen, que es el (0, 0).
- Contar cuadritos en vez de marcar el punto. Se cuentan 3 cuadritos y se marca el centro del tercer cuadrito. Pasa por confundir casillas con marcas. Los puntos van en los cruces de las líneas, no dentro de los cuadritos.
- Trasladar solo un vértice. Se mueve A y se dibuja la figura donde caiga, sin mover los demás puntos igual. Pasa por apuro. En una traslación todos los puntos se mueven exactamente lo mismo.
- Confundir traslación con giro o con espejo. Se contesta que una figura volteada es una traslación. Pasa porque en las dos la figura cambia de lugar. En la traslación la figura mantiene su orientación: no gira ni se refleja.
Cómo acompañar en casa
Esta parte es para la persona que acompaña. No hace falta saber la materia: las respuestas van al lado.
Al terminar, el estudiante tiene que poder: ubicar puntos en el primer cuadrante y hacer traslaciones.
Tres preguntas para hacerle
- ¿(2, 5) es lo mismo que (5, 2)? → No: el orden importa
- ¿Qué se lee primero? → La coordenada horizontal
- Si (3, 4) se traslada 2 a la derecha, ¿dónde queda? → En (5, 4)
Si se traba. Si invierte las coordenadas, dígale la regla: primero se camina, después se sube.
Cinco minutos en la casa. Dibujen ejes en un papel cuadriculado y que ubique tres puntos que usted le dicte.
Clave de análisis
Un par ordenado se lee caminando primero en horizontal y después en vertical, siempre desde el (0, 0). Para trasladar, sumá el mismo movimiento a las coordenadas de cada vértice: lo positivo mueve a la derecha o hacia arriba, lo negativo a la izquierda o hacia abajo. Y comprobá siempre que la figura trasladada conserve los mismos lados: si cambió de tamaño o de orientación, no era una traslación.