Estadística y Probabilidad: medidas de posición, variabilidad y probabilidad clásica

Medidas de posición: partir los datos ordenados

Una medida de posición corta un conjunto ordenado en partes iguales. Son la misma idea con distinta cantidad de cortes:

• Cuartiles (Q): cortan en 4. Q₁ deja abajo el 25 %, Q₂ el 50 % —la mediana— y Q₃ el 75 %.
• Deciles (D): cortan en 10. D₅ vuelve a ser la mediana.
• Percentiles (P): cortan en 100. P₅₀ también es la mediana.

Son el mismo instrumento con distinta finura, y por eso se convierten: Q₁ = P₂₅ = D₂,₅. Con los percentiles tenés los otros dos.

Lo primero es ordenar de menor a mayor: sin orden, «la posición 3» no significa nada.

Después se calcula la posición del corte con L = (k ÷ 100) × n, con k el percentil y n la cantidad de datos. L no es el valor: es el lugar de la fila donde hay que buscarlo.

• Si L da entero, el corte cae entre dos datos: se toma el promedio del dato L y el siguiente.
• Si no da entero, se interpola entre los dos datos vecinos según la parte decimal.

Medidas de variabilidad: por qué hay que elevar al cuadrado

Dos grupos con la misma media pueden ser muy distintos. La media dice dónde está el centro; la variabilidad, qué tan lejos se le van los datos.

El primer intento sería promediar las desviaciones (dato − media). No sirve, y se prueba: las positivas y las negativas se cancelan y la suma siempre da cero. De ahí la solución: elevarlas al cuadrado, porque el cuadrado borra el signo y ya nada se cancela.

• Varianza: promedio de los cuadrados de las desviaciones. Queda en unidades al cuadrado: si medías colones, da colones cuadrados, que no significa nada.
• Desviación estándar (σ): la raíz de la varianza. La raíz deshace el cuadrado y devuelve el resultado a las unidades originales; por eso es la que se interpreta.
• Rango: máximo − mínimo. Mira solo los extremos, así que un dato raro lo dispara.
• Rango intercuartílico (RIC): Q₃ − Q₁. Mide el 50 % central, y como deja afuera las colas, no se altera con datos extremos.

Probabilidad clásica: qué exige la regla de Laplace

Cuando todos los resultados son igualmente probables, vale la regla de Laplace:

P(E) = favorables ÷ posibles

La condición no es un detalle: sin equiprobabilidad la división no mide nada. En un dado se cumple; en «llueve o no llueve», no. De esa definición salen todas las propiedades, y ninguna hay que recordarla suelta:

• 0 ≤ P(E) ≤ 1, porque los favorables son parte de los posibles: una parte no supera al todo ni baja de cero.
• P(evento seguro) = 1, porque ahí favorables y posibles son lo mismo; P(imposible) = 0, porque no hay favorables.
• P(no E) = 1 − P(E), porque E y su complemento no se dan juntos y entre los dos cubren todo: suman 1.
• Mutuamente excluyentes: si A y B no pueden darse a la vez, sus casos favorables no se repiten: P(A o B) = P(A) + P(B).
• Independientes: si uno no afecta al otro, P(A y B) = P(A) × P(B), porque por cada caso de A hay todos los de B.

Ejemplos resueltos

1. Con los datos 4, 7, 7, 9, 10, 12, 15, 16, calculá la media y la desviación estándar. Media: 80 ÷ 8 = 10. Desviaciones: −6, −3, −3, −1, 0, 2, 5, 6, que suman 0, como tiene que pasar siempre. Cuadrados: 36, 9, 9, 1, 0, 4, 25, 36 → 120. Varianza = 120 ÷ 8 = 15, y σ = √15 ≈ 3,87, en las unidades de los datos.

2. Con esos mismos datos, hallá Q₁, la mediana, Q₃ y el RIC. Ya están ordenados y n = 8. Q₁: L = 0,25 × 8 = 2, entero, así que se promedian el dato 2 y el 3: 7. Mediana: L = 4 → (9 + 10) ÷ 2 = 9,5. Q₃: L = 6 → (12 + 15) ÷ 2 = 13,5. RIC = 13,5 − 7 = 6,5. El rango es 16 − 4 = 12: casi el doble, porque incluye las colas.

3. En 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 18 (n = 9), calculá P₂₅. L = 0,25 × 9 = 2,25, no entero. Se interpola entre el dato 2 y el 3: 6 + 0,25 × (7 − 6) = 6,25, que cae entre los dos vecinos, como debe ser.

4. Dos grupos: A = 9, 10, 11 y B = 2, 10, 18. Compará centro y dispersión. Las dos medias dan 10: por el centro son idénticos. Varianza de A: (1 + 0 + 1) ÷ 3 ≈ 0,67, σ ≈ 0,82. Varianza de B: (64 + 0 + 64) ÷ 3 ≈ 42,67, σ ≈ 6,53. Misma media, dispersión ocho veces mayor: la media sola no describe un conjunto.

5. Urna con 4 bolas rojas y 6 azules: calculá P(roja), P(no roja), P(roja o azul) y P(dos rojas con reposición). P(roja) = 4 ÷ 10 = 0,4. P(no roja) = 1 − 0,4 = 0,6, que coincide con 6 ÷ 10: la comprobación cierra. Roja y azul son excluyentes y cubren todo: P(roja o azul) = 1. Con reposición la segunda extracción no depende de la primera, así que son independientes: 0,4 × 0,4 = 0,16. Sin reposición ya no lo serían.

Los errores que más se cobran

1. Calcular un cuartil sin ordenar los datos. La fórmula da una posición, y en una lista desordenada apunta a cualquier cosa.
2. Confundir la posición L con el valor del percentil. L dice dónde buscar; el percentil es el dato que está ahí. Dar 2,25 como P₂₅ es entregar el lugar.
3. Reportar la varianza como si fuera la dispersión interpretable. Está en unidades al cuadrado; la que se compara con los datos es la desviación estándar.
4. Usar el rango cuando hay un dato extremo. Un valor raro lo agranda entero. Si la pregunta habla de datos atípicos, corresponde el RIC.
5. Creer que dos conjuntos con la misma media son parecidos. La media ubica el centro y nada dice de la separación: por eso se pide una medida de variabilidad junto a ella.
6. Aplicar Laplace sin equiprobabilidad. «Gana o no gana: 1 ÷ 2» es la trampa clásica. Sin resultados igualmente probables hay que estimar con datos observados, no dividir.

Clave de análisis

Todo el bloque se reconstruye desde tres decisiones que tienen causa. La primera: las medidas de posición son un solo instrumento con distinta finura y todas se calculan igual —ordenar, hallar la posición con L = (k ÷ 100) × n, leer el dato—, y por eso Q₁, D₂,₅ y P₂₅ son el mismo número. La segunda: la variabilidad eleva al cuadrado porque las desviaciones sin elevar suman cero siempre, y después saca raíz para volver a las unidades del problema.

La tercera es que todas las reglas de probabilidad salen de contar casos: el complemento resta porque E y no-E cubren todo, los excluyentes suman porque no comparten casos, y los independientes multiplican porque cada caso de uno se combina con todos los del otro. Y sobre cualquier resultado queda el control que más ítems salva: una probabilidad cae entre 0 y 1. Si da 1,4, el error está en el denominador o en haber sumado eventos que sí podían ocurrir juntos.