Ecuaciones de primer grado: la balanza

En la prueba, las ecuaciones aportan 8 preguntas y las expresiones algebraicas otras 8: entre las dos son 16 de las 60.

Expresión y ecuación: lo que cambia es el signo igual

• Expresión algebraica: una combinación de letras y números, sin igual. Por ejemplo 3x + 5. No se resuelve, porque no afirma nada: se simplifica o se le calcula el valor numérico.
• Ecuación: lleva el signo = y por eso afirma que dos cosas valen lo mismo. Por ejemplo 3x + 5 = 20. Esa afirmación es cierta solo para ciertos valores de x, y encontrarlos es «resolver».

La pregunta suele ser justo esa: cuál de las cuatro opciones es una ecuación. Es la única que lleva igual. Sin igual no hay nada que resolver.

Por qué la balanza explica todo

Pensá una ecuación como una balanza en equilibrio. En el platillo izquierdo está 2x + 3; en el derecho, 11. Que estén en equilibrio significa exactamente lo que dice el signo igual: los dos lados pesan lo mismo.

Si a un platillo le quitás peso y al otro no, la balanza se cae. Con una ecuación pasa igual: deja de ser cierta. Por eso la regla es una sola: lo que se hace de un lado, se hace del otro.

De ahí salen las «propiedades de la igualdad» sin necesidad de una lista aparte: si sumás o restás lo mismo en los dos platillos, siguen pesando igual; si multiplicás o dividís los dos por el mismo número distinto de cero, también.

Y de ahí sale el famoso «pasar un término al otro lado». No es una regla suelta ni un truco de magia. En 2x + 3 = 11, quitar 3 de los dos lados deja 2x = 8. A la derecha quedó 11 − 3, y parece que el 3 «se pasó restando». Lo que de verdad pasó es que le restaste 3 a los dos platillos: el 3 de la izquierda se fue porque 3 − 3 = 0.

Si entendés eso, no necesitás acordarte de si el signo cambia: se cambia solo. Lo que sumaba, para irse, hay que restarlo; lo que multiplicaba, para irse, hay que dividirlo.

Los pasos, y la razón de cada uno

1. Quitás paréntesis con la distributiva. Razón: mientras haya paréntesis no podés juntar lo de adentro con lo de afuera.
2. Juntás los términos con x de un lado y los números del otro. Razón: la x no queda sola si tiene números pegados.
3. Reducís términos semejantes. Razón: 5x y 3x son la misma cosa contada distinto, así que se juntan en 8x.
4. Despejás x dividiendo entre su coeficiente. Razón: el coeficiente multiplica, y dividir es lo que lo deshace.
5. Comprobás sustituyendo en la ecuación original. Razón: si el valor es correcto, la balanza vuelve a quedar en equilibrio.

Ejemplo completo, paso a paso

Resolver 2x + 3 = 11.

1. Quito 3 de los dos lados: 2x + 3 − 3 = 11 − 3 → 2x = 8.
2. Divido entre 2 los dos lados: 2x ÷ 2 = 8 ÷ 2 → x = 4.
3. Comprobación, que nunca se salta: 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11. Coincide con el lado derecho, así que está bien.

Con fracciones es el mismo razonamiento. En x ÷ 3 = 5, el 3 está dividiendo; para deshacerlo se multiplica por 3 los dos lados: x = 15. Comprobación: 15 ÷ 3 = 5.

Valor numérico y monomios semejantes

El valor numérico de una expresión es lo que vale cuando reemplazás la letra por un número. Para 3x + 5 con x = 4: 3 × 4 + 5 = 17.

Cuidado con los negativos: para x = −2, es 3 × (−2) + 5 = −6 + 5 = −1. Los paréntesis no son adorno: separan el signo del número y evitan el error.

Los monomios semejantes son los que tienen la misma letra con el mismo exponente: 5x y 3x lo son; 5x y 3x² no. Solo los semejantes se suman o se restan, y la razón es que 5x + 3x significa «cinco veces algo más tres veces ese mismo algo», que son ocho veces ese algo. Con 5x + 3y no hay «ese mismo algo»: se quedan separados.

Ejemplos resueltos

1. ¿Cuál de estas es una ecuación: 4x − 7, 4x − 7 = 9, 4x + 2y, 4(x − 7)? 4x − 7 = 9, porque es la única con signo igual. Las otras tres son expresiones: se simplifican o se evalúan, no se resuelven.

2. Resolvé 5x − 7 = 18. Sumo 7 a los dos lados: 5x = 25. Divido entre 5 los dos lados: x = 5. Comprobación: 5 × 5 − 7 = 25 − 7 = 18. Coincide.

3. Resolvé 3(x − 2) = x + 4. Distributiva: 3x − 6 = x + 4. Resto x en los dos lados: 2x − 6 = 4. Sumo 6 en los dos lados: 2x = 10. Divido entre 2: x = 5. Comprobación: 3(5 − 2) = 3 × 3 = 9, y 5 + 4 = 9. Los dos lados dan 9.

4. Calculá el valor numérico de 2x − 9 para x = −3. 2 × (−3) − 9 = −6 − 9 = −15. El paréntesis evita leer «2x−3» y perder el signo.

5. Simplificá 7x + 4x² − 3x + x². Junto los semejantes por separado: 7x − 3x = 4x, y 4x² + x² = 5x². Queda 5x² + 4x. No se puede seguir: x y x² no son semejantes.

Los errores que más se cobran

1. Hacer algo de un solo lado. Es romper la balanza. Si restás 3 a la izquierda y no a la derecha, la igualdad deja de ser cierta y todo lo que sigue está mal aunque las cuentas estén bien hechas.
2. Perder el signo al pasar un término. Un término que estaba sumando aparece al otro lado restando, porque lo que hiciste fue restarlo de los dos lados. Copiarlo con el mismo signo es no haber hecho nada.
3. Sumar monomios que no son semejantes. 5x + 3x² no da 8x³ ni 8x². Son cantidades de cosas distintas: no se pueden juntar en un solo término.
4. Confundir expresión con ecuación y tratar de «resolver» algo que no tiene igual. Sin igual no hay condición que cumplir, así que no hay solución que buscar.
5. Dividir solo el término que tiene la x. En 2x = 8 hay que dividir los dos lados entre 2; dividir nada más la izquierda deja x = 8, que es falso.
6. No comprobar. Reemplazar el resultado en la ecuación original toma diez segundos y atrapa casi todos los errores anteriores.

Clave de análisis

Si se te olvidan los pasos, volvé a la balanza y reconstruilos. El signo igual dice que los dos platillos pesan lo mismo; cualquier cosa que le hagás a uno tenés que hacérsela al otro para que el equilibrio siga. Eso explica por qué se pasa restando lo que sumaba y dividiendo lo que multiplicaba: no son reglas que haya que saber de antemano, son consecuencias de mantener la balanza quieta.

La otra idea que reconstruye todo es qué está molestando a la x y cómo se deshace. Lo que suma se deshace restando, lo que multiplica se deshace dividiendo, y siempre en los dos lados. La comprobación te dice si acertaste: sustituís el valor en la ecuación original y los dos lados tienen que dar el mismo número.