Números
Operaciones con fracciones
Al terminar vas a poder sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones aunque los denominadores sean distintos, explicar por qué en la suma no se tocan los denominadores pero en la multiplicación sí, y comprobar cada resultado antes de entregarlo.
Qué dice una fracción, y por qué eso manda en todo
Una fracción tiene dos trabajos repartidos entre sus dos números.
- El denominador dice en cuántas partes iguales se partió el entero. Es el tamaño de la parte.
- El numerador dice cuántas de esas partes se tomaron. Es la cantidad de partes.
Esa división de trabajo explica casi todas las reglas que siguen. Si dos fracciones tienen el mismo denominador, están hechas de partes del mismo tamaño, y eso se puede juntar contando. Si los denominadores son distintos, las partes no se pueden contar juntas hasta que se igualen.
Sumar 1/4 con 2/3 sin igualar es como sumar tres huevos con cuatro tortillas y decir que hay siete huevos. Primero hay que ponerlo todo en la misma unidad.
Suma y resta con el mismo denominador
Cuando las partes ya son del mismo tamaño, se suman o se restan solo los numeradores y el denominador se conserva.
5/9 + 2/9 = 7/9
El porqué está a la vista: son novenos en los dos casos, y cinco novenos más dos novenos son siete novenos. El 9 no se toca porque el tamaño de la parte no cambió: solo cambió cuántas hay.
La resta funciona igual: 7/12 − 3/12 = 4/12, y eso se simplifica a 1/3 dividiendo arriba y abajo entre 4.
Suma y resta con distinto denominador
Acá hay un paso previo obligatorio: igualar el tamaño de las partes. Para eso se busca el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores: el número más pequeño en el que los dos caben exacto.
Ejemplo: 1/4 + 2/3.
- mcm de 4 y 3. Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16… Los de 3 son 3, 6, 9, 12… El primero que comparten es 12.
- Convierto cada fracción a doceavos multiplicando arriba y abajo por el mismo número, que es lo que no cambia el valor:
- 1/4: como 12 ÷ 4 = 3, multiplico por 3 arriba y abajo → 3/12.
- 2/3: como 12 ÷ 3 = 4, multiplico por 4 arriba y abajo → 8/12.
- Ahora sí, mismas partes: 3/12 + 8/12 = 11/12.
Comprobación en decimales: 1/4 = 0,25 y 2/3 ≈ 0,667. La suma ≈ 0,917. Y 11 ÷ 12 ≈ 0,917. Coincide.
Ese truco de comprobar en decimales sirve para cualquier suma y toma diez segundos.
Multiplicación: por qué acá sí se multiplican los denominadores
Multiplicar fracciones es tomar una parte de otra parte. Y cuando partís una parte, las piezas se hacen más pequeñas: por eso el denominador crece.
2/5 × 3/7 = (2 × 3)/(5 × 7) = 6/35
Pensalo con el entero: partir en 5 y después cada quinto en 7 deja 35 pedacitos. De esos, te quedás con 2 × 3 = 6. Ahí está la regla completa, deducida: numerador por numerador, denominador por denominador.
Detalle importante: cuando multiplicás dos fracciones menores que 1, el resultado es más chico que las dos. Multiplicar por menos de uno achica.
División: por qué se invierte la segunda fracción
Dividir es preguntar cuántas veces cabe una cantidad en otra. Y multiplicar por el inverso da exactamente esa respuesta.
Mirémoslo con un caso simple: 1 ÷ 1/4 pregunta cuántos cuartos caben en un entero. Caben 4, y 1 × 4/1 = 4. La inversión no es un truco: es el resultado.
Entonces, se multiplica la primera por el inverso de la segunda (el inverso es la misma fracción volteada).
3/4 ÷ 5/8 = 3/4 × 8/5 = 24/20
Y se simplifica dividiendo arriba y abajo entre 4: 24/20 = 6/5.
Comprobación: 6/5 = 1,2. Y en decimales, 0,75 ÷ 0,625 = 1,2. Coincide.
Ejemplos resueltos
1. Calculá 5/6 − 1/4. mcm de 6 y 4: los múltiplos de 6 son 6, 12, 18…; los de 4 son 4, 8, 12… El mcm es 12. 5/6 = 10/12 (porque 12 ÷ 6 = 2, multiplico por 2 arriba y abajo). 1/4 = 3/12 (porque 12 ÷ 4 = 3). 10/12 − 3/12 = 7/12. Comprobación: 0,833 − 0,25 = 0,583, y 7 ÷ 12 ≈ 0,583.
2. María tiene 3/4 de un queque y le da 1/3 de esa porción a su hermano. ¿Qué fracción del queque completo recibió el hermano? La palabra clave es «de esa porción»: una parte de una parte es multiplicación. 3/4 × 1/3 = (3 × 1)/(4 × 3) = 3/12 = 1/4. El hermano recibió 1/4 del queque completo. Comprobación: un tercio de tres cuartos es un cuarto, porque tres cuartos son tres pedazos de un cuarto y él se lleva uno.
3. ¿Cuántos vasos de 3/4 de litro se llenan con 6 litros de fresco? «Cuántas veces cabe» es división: 6 ÷ 3/4. El 6 se escribe como fracción: 6/1. 6/1 × 4/3 = 24/3 = 8 vasos. Comprobación: 8 vasos × 3/4 de litro = 24/4 = 6 litros. Exacto.
4. Calculá 2/3 + 1/6 − 1/2. mcm de 3, 6 y 2: el 6 sirve para los tres, así que el mcm es 6. 2/3 = 4/6; 1/6 se queda igual; 1/2 = 3/6. 4/6 + 1/6 − 3/6 = (4 + 1 − 3)/6 = 2/6 = 1/3. Comprobación: 0,667 + 0,167 − 0,5 = 0,333, y 1 ÷ 3 ≈ 0,333.
Los errores que más se cobran
- Sumar los denominadores. Escribir 1/4 + 2/3 = 3/7. El porqué del error: se trata el denominador como si fuera una cantidad, cuando es el tamaño de la parte. Si sumás los tamaños, cambiás la unidad en medio de la operación.
- Buscar el mcm y olvidar convertir el numerador. El porqué: al cambiar el denominador hay que multiplicar arriba por el mismo número, si no, la fracción ya no vale lo mismo.
- Invertir la primera fracción en vez de la segunda. El porqué: la que se invierte es la que divide, porque la pregunta es cuántas veces cabe esa. Invertir la otra da un resultado sin sentido.
- Buscar denominador común para multiplicar. El porqué: igualar partes sirve para contar (sumar y restar). Multiplicar no cuenta partes, parte las partes, y por eso no lo necesita.
- No simplificar el resultado. El porqué: 24/20 y 6/5 valen lo mismo, pero la opción correcta del examen aparece simplificada.
- Esperar que multiplicar agrande. El porqué: multiplicar por una fracción menor que 1 es tomar una parte, y una parte siempre es menor que el todo.
Clave de análisis
Todo lo de esta lección sale de una sola idea: el denominador dice el tamaño de la parte y el numerador dice cuántas hay.
Si la operación cuenta partes —suma o resta—, las partes tienen que ser del mismo tamaño. De ahí sale el mcm, de ahí sale que el denominador se conserva y de ahí sale que sumar denominadores es un disparate.
Si la operación parte las partes —multiplicación—, los denominadores se multiplican porque los pedazos se hacen más chicos. Y la división se apoya en la multiplicación: dividir entre una fracción es preguntar cuántas veces cabe, y eso lo contesta el inverso.
Con eso reconstruís las cuatro reglas aunque se te borren. Y llevate la comprobación, que vale tanto como la regla: pasá el resultado a decimales y compará. Si no coincide con la operación hecha en decimales, el error está adentro y lo encontrás antes de que lo encuentre el examen.