Relaciones y álgebra
Productos notables
Al terminar vas a poder desarrollar el cuadrado de un binomio y el producto de una suma por su diferencia sin hacer la multiplicación completa, deducir cada fórmula multiplicando término por término y explicar de dónde sale el término del medio que todo el mundo pierde.
Qué es un producto notable y por qué tiene nombre
Un producto notable es una multiplicación que aparece tantas veces que conviene reconocer su resultado de un vistazo. Son multiplicaciones normales ya hechas: la ventaja es de tiempo, no de método. Por eso lo primero es ver cómo se hacen a mano, porque quien sabe de dónde sale la fórmula la vuelve a sacar en treinta segundos.
La herramienta es la propiedad distributiva: para multiplicar dos binomios se multiplica cada término del primero por cada término del segundo. Son cuatro productos siempre. Ni tres ni dos: cuatro.
El cuadrado de un binomio, desarrollado a la vista
Elevar al cuadrado es multiplicar la expresión por sí misma: (a + b)² = (a + b)(a + b). Ahora los cuatro productos, uno por uno:
a · a = a²; a · b = ab; b · a = ab; b · b = b².
Sumo los cuatro: a² + ab + ab + b². Los dos del medio son semejantes y se reducen: ab + ab = 2ab.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Ahí está el porqué del término del medio: los dos cruzados son iguales, y por eso lleva un 2. Es la suma de a·b con b·a.
Con resta el desarrollo es el mismo y solo cambian los signos: a · a = a²; a · (−b) = −ab; (−b) · a = −ab; (−b)(−b) = +b².
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Fijate que el último término sale positivo aunque haya resta, porque un negativo por un negativo da positivo. Lo único negativo es el término del medio.
Comprobación con números. Con la fórmula, (3 + 2)² = 3² + 2 · 3 · 2 + 2² = 9 + 12 + 4 = 25. Directo, (3 + 2)² = 5² = 25. Coincide.
Ejemplo algebraico. Para (x + 4)²: el primero al cuadrado es x², el doble del primero por el segundo es 2 · x · 4 = 8x, y el segundo al cuadrado es 16. (x + 4)² = x² + 8x + 16.
Suma por diferencia: por qué el término del medio desaparece
Multipliquemos (a + b)(a − b) con los mismos cuatro productos:
a · a = a²; a · (−b) = −ab; b · a = +ab; b · (−b) = −b².
Queda a² − ab + ab − b². Los dos del medio son opuestos y se cancelan: −ab + ab = 0.
(a + b)(a − b) = a² − b²
En el cuadrado los cruzados son iguales y se suman; acá son opuestos y se anulan. La misma cuenta, con un signo distinto, da los dos resultados.
| Producto | Qué pasa con los cruzados | Resultado |
|---|---|---|
| (a + b)² | Iguales, se suman | a² + 2ab + b² |
| (a − b)² | Iguales, se suman con signo menos | a² − 2ab + b² |
| (a + b)(a − b) | Opuestos, se cancelan | a² − b² |
Comprobación con números. Con la fórmula, (7 + 3)(7 − 3) = 7² − 3² = 49 − 9 = 40. Directo, 10 × 4 = 40.
El error que más se cobra, explicado con números
(a + b)² no es a² + b². Se pierde el término del medio, que es el que la prueba busca.
Comprobalo: (3 + 4)² = 7² = 49, mientras que 3² + 4² = 9 + 16 = 25. La diferencia, 24, es exactamente 2ab = 2 · 3 · 4. O sea que el término del medio puede ser la mitad del resultado.
Sirve para calcular de cabeza
Estos productos convierten cuentas feas en fáciles: permiten escribir un número incómodo como algo redondo más o menos un poquito.
102² = (100 + 2)² = 100² + 2 · 100 · 2 + 2² = 10.000 + 400 + 4 = 10.404
98 × 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 100² − 2² = 10.000 − 4 = 9.996
El segundo caso es el más elegante: dos números a la misma distancia de uno redondo son una suma por diferencia disfrazada.
Ejemplos resueltos
1. Desarrollá (2x + 3)². Primero al cuadrado: (2x)² = 4x². Ojo: se eleva todo, coeficiente y letra. Doble del primero por el segundo: 2 · 2x · 3 = 12x. Segundo al cuadrado: 9. Resultado: 4x² + 12x + 9. Comprobación con x = 1: la original da (2 + 3)² = 25 y el desarrollo da 4 + 12 + 9 = 25.
2. Multiplicá (x + 7)(x − 7). Los cruzados, −7x y +7x, se cancelan, y quedan x² y −49. Resultado: x² − 49. Comprobación con x = 10: original, 17 × 3 = 51; fórmula, 100 − 49 = 51.
3. Calculá 51² de cabeza. Escribo 51 como 50 + 1: (50 + 1)² = 50² + 2 · 50 · 1 + 1². 2.500 + 100 + 1 = 2.601. Comprobación: 51 × 51 a mano da 2.601. El desarrollo ahorró la multiplicación larga.
4. Un estudiante escribió (x + 3)² = x² + 9. Mostrá con números por qué está mal y corregilo. Con x = 2 la original vale (2 + 3)² = 25 y lo que él escribió vale 4 + 9 = 13: no son lo mismo. Faltan los dos productos cruzados, x · 3 y 3 · x, que juntos dan 6x. Con x = 2 eso es 12, y 13 + 12 = 25. Lo correcto es x² + 6x + 9.
Los errores que más se cobran
- Escribir (a + b)² = a² + b². El porqué: se hacen solo dos de los cuatro productos y se botan los cruzados, que juntos son 2ab.
- Poner el último término negativo en (a − b)². El porqué: sale de (−b)(−b), y dos negativos dan positivo. El menos queda solo en el del medio.
- No elevar el coeficiente. El porqué: en (2x)² el cuadrado afecta a todo el término: 2² · x² = 4x². Escribir 2x² desarma el ejercicio desde el primer paso.
- Dejar el término del medio en la suma por diferencia. El porqué: ahí los cruzados son opuestos y suman cero.
- Confundir cuál producto es cuál. El porqué: si los dos paréntesis llevan el mismo signo es un cuadrado, con término del medio; si llevan signos distintos es suma por diferencia, sin él. El signo decide antes de calcular.
- Aplicar el patrón sin verificar el binomio. El porqué: (x + 3)(x − 5) no es suma por diferencia, porque los términos no coinciden. Ahí toca hacer los cuatro productos.
Clave de análisis
No hacen falta tres fórmulas separadas en la cabeza: hace falta una herramienta y una observación.
La herramienta es la distributiva: multiplicar dos binomios son cuatro productos, siempre los mismos. Si dudás, escribí los cuatro y sumá: toma medio minuto y sale exacto.
La observación es qué pasa con los dos productos cruzados. Con el mismo signo en los dos paréntesis, los cruzados son iguales y se suman: por eso aparece 2ab. Con signos distintos son opuestos y se anulan: por eso queda solo a² − b².
Con esas dos cosas reconstruís las tres expresiones aunque se te borren, y además reconocés cuándo no se aplican. La prueba de que el término del medio importa está en los números: (3 + 4)² es 49 y no 25, y los 24 que faltan son los cruzados. Practicá desarrollando los cuatro productos hasta que el patrón te salte a la vista solo.