Números
Operaciones con números enteros
Al terminar vas a poder operar con números enteros aplicando bien las reglas de los signos, explicar por qué restar un negativo suma, y resolver una expresión con varias operaciones respetando el orden correcto.
Los enteros y la recta: el signo es una dirección
Los números enteros son los positivos, los negativos y el cero. En la recta numérica, los positivos van a la derecha del cero y los negativos a la izquierda.
De ahí sale algo que confunde a mucha gente: entre dos negativos, el mayor es el que está más a la derecha. Por eso −2 es mayor que −5: si debés ₡2.000 estás mejor que si debés ₡5.000.
El valor absoluto es la distancia de un número al cero, y como toda distancia, es positiva o cero. Se escribe entre barras: |−7| = 7 y |7| = 7. Contesta qué tan lejos, no para qué lado.
El signo dice dirección; el valor absoluto dice cuánto. Separar esas dos cosas resuelve la mitad de los errores de signos.
Suma y resta: por qué a veces se suma y a veces se resta
Pensá cada número como un movimiento sobre la recta: un positivo empuja a la derecha, un negativo a la izquierda.
Signos iguales: los dos empujan para el mismo lado y los empujones se acumulan. Se suman los valores absolutos y se conserva el signo. (−4) + (−3) = −7: cuatro pasos a la izquierda y tres más son siete a la izquierda.
Signos distintos: empujan en direcciones contrarias y se cancelan en parte. Se restan los valores absolutos y queda el signo del de mayor valor absoluto, que es el que gana el forcejeo. (−8) + 5 = −3: ocho a la izquierda contra cinco a la derecha dejan tres a la izquierda.
Restar es sumar el opuesto. Quitar un empujón hacia la izquierda te deja más a la derecha. Por eso 6 − (−4) = 6 + 4 = 10: si le quitás una deuda de ₡4.000 a alguien que tiene ₡6.000, queda con ₡10.000. Quitar algo negativo mejora la posición.
Multiplicación y división: de dónde sale la regla de los signos
La regla se deduce de la suma repetida.
- 3 × (−5) es sumar −5 tres veces: (−5) + (−5) + (−5) = −15. Positivo por negativo da negativo.
- (−5) × (−3): multiplicar por un negativo es tomar el opuesto de multiplicar por el positivo. Como (−5) × 3 = −15, entonces (−5) × (−3) es el opuesto de −15, o sea +15.
La división sigue la misma regla por ser la operación inversa: si (−5) × (−3) = 15, entonces 15 ÷ (−3) = −5.
| Signos | Resultado | Ejemplo |
|---|---|---|
| Iguales | Positivo | (−5) × (−3) = 15 |
| Distintos | Negativo | (−5) × 3 = −15 |
El orden de las operaciones, y por qué importa el paréntesis en las potencias
El orden es: 1) paréntesis, 2) potencias, 3) multiplicación y división de izquierda a derecha, 4) suma y resta.
Hay un detalle con signos que el examen cobra siempre:
- (−6)² = (−6) × (−6) = 36. El paréntesis mete el signo dentro de la potencia: se multiplica el negativo por sí mismo y da positivo.
- −6² = −(6 × 6) = −36. Sin paréntesis, la potencia solo afecta al 6, y el menos queda afuera.
De ahí sale una regla que se deduce en el momento: una potencia de exponente par de un número negativo da positivo, porque los signos se emparejan de dos en dos; de exponente impar da negativo, porque sobra un signo sin pareja. (−2)³ = −8 y (−2)⁴ = 16.
Ejemplos resueltos
1. Calculá −3 + 2 × (−4) − (−6)². Paso 1, potencia: (−6)² = (−6) × (−6) = 36. Como está restando, el término es −36. Paso 2, multiplicación: 2 × (−4) = −8. Paso 3, sustituyo: −3 + (−8) − 36. Paso 4, sumo de izquierda a derecha: −3 − 8 = −11; −11 − 36 = −47. Comprobación: los tres términos empujan a la izquierda, así que el resultado es negativo y vale 3 + 8 + 36 = 47.
2. Calculá (−12) ÷ (−4) + (−3) × 2. División primero: (−12) ÷ (−4) = 3, porque los signos son iguales. Multiplicación: (−3) × 2 = −6, porque los signos son distintos. Suma final: 3 + (−6) = −3. Comprobación: signos distintos, resto valores absolutos (6 − 3 = 3) y queda el signo del −6.
3. En la cima del Chirripó había −4 grados a las 5 a. m. y la temperatura subió 11 grados al mediodía. ¿Cuánto marcó al mediodía? Subir es sumar: −4 + 11. Signos distintos, así que resto valores absolutos (11 − 4 = 7) y queda el signo del 11. Resultado: 7 grados. Comprobación: desde −4 hay que subir 4 para llegar a 0 y quedan 7 de los 11.
4. Calculá −2³ + (−2)³. Primer término: sin paréntesis, la potencia es solo del 2, así que −2³ = −(2 × 2 × 2) = −8. Segundo término: con paréntesis, (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = 4 × (−2) = −8. Exponente impar, resultado negativo. Suma: −8 + (−8) = −16. Comprobación: los dos son negativos, así que se acumulan: 8 + 8 = 16 hacia la izquierda.
Los errores que más se cobran
- Leer 6 − (−4) como 6 − 4. El porqué: se pierde de vista que hay dos signos, el de la resta y el del número. Quitar una deuda deja más, no menos: el resultado es 10.
- Aplicar «menos por menos es más» a una suma. El porqué: esa regla sale de la multiplicación y no tiene nada que ver con juntar dos empujones hacia el mismo lado. (−5) + (−3) = −8.
- Escribir −6² = 36. El porqué: sin paréntesis la potencia afecta solo al 6, y el signo menos queda fuera. Da −36. Con paréntesis, (−6)², sí da 36.
- Creer que −5 es mayor que −2. El porqué: se compara el valor absoluto en vez de la posición en la recta. Entre negativos gana el que está más cerca del cero.
- Sumar antes de multiplicar. El porqué: se lee la expresión como un texto, de izquierda a derecha. El orden no es de lectura: paréntesis, potencias, multiplicación y división, y de último suma y resta.
- Poner el signo del número mayor sin mirar el valor absoluto. El porqué: en (−8) + 5 manda el de mayor distancia al cero, que es el −8.
Clave de análisis
Si se te borran las reglas de signos, volvé a la recta y a una sola imagen: el signo es una dirección y el valor absoluto es cuánto te movés.
Con eso reconstruís la suma. Dos empujones hacia el mismo lado se acumulan, y por eso los signos iguales suman conservando el signo. Dos empujones opuestos se cancelan en parte, y por eso los signos distintos restan y queda el signo del más fuerte. Y restar es quitar un empujón: quitar un negativo te deja más a la derecha. Ese es todo el misterio de 6 − (−4) = 10.
Para multiplicar y dividir, usá la suma repetida: 3 × (−5) es sumar −5 tres veces y da −15; multiplicar por un negativo da el opuesto de multiplicar por el positivo, y por eso dos negativos dan positivo. De ahí salen también las potencias: los signos se emparejan de dos en dos, así que exponente par da positivo y exponente impar deja un signo suelto.
Y antes de operar hacé siempre lo mismo: marcá los paréntesis y decidí el orden antes de tocar un número. El error más caro de esta materia no es calcular mal, es empezar por donde no era.