Relaciones y álgebra
Del lenguaje común al lenguaje algebraico
Al terminar vas a poder traducir un enunciado en palabras a una expresión algebraica, explicar por qué el orden de las palabras decide dónde van los paréntesis, distinguir un monomio de un polinomio y reconocer el coeficiente, la parte literal y el grado de un término.
El álgebra es un idioma, y se traduce
Cuando un problema dice «el doble de un número, más tres», está contando una historia. El álgebra escribe esa misma historia con letras y símbolos, y lo hace por una razón práctica: lo escrito en símbolos se puede operar; lo escrito en palabras, no.
La traducción tiene una sola dificultad real, y no es el vocabulario: es el orden. «El doble de un número más tres» y «el doble de, un número más tres» son historias distintas, y el paréntesis es lo que las separa. Por eso conviene leer despacio y preguntarse siempre qué operación se hace primero.
Las piezas, y por qué se llaman así
Antes de traducir hay que saber cómo se llaman las partes de lo que escribís:
- Variable: una letra que representa un número desconocido, por ejemplo x. Se llama variable porque puede tomar distintos valores.
- Término: un bloque que junta un número y una letra multiplicándose, como 5x. Los términos se separan entre sí con signos + o −.
- Coeficiente: el número que multiplica a la variable. En 5x el coeficiente es 5. Dice cuántas veces se toma la variable.
- Parte literal: las letras con sus exponentes. En 5x² la parte literal es x².
- Grado de un término: el exponente de la variable. 5x² tiene grado 2; 5x tiene grado 1, aunque el 1 no se escriba.
Fijate en la lógica: el coeficiente cuenta cuántos, la parte literal dice de qué, y el grado dice cuántas veces se multiplica la variable por sí misma. Con esas tres preguntas identificás cualquier término sin dudar.
Monomio y polinomio: es cuestión de contar términos
- Monomio: un solo término. Ejemplo: 3x. El nombre lo dice: mono es uno.
- Polinomio: suma o resta de varios términos. Ejemplo: 2x² + 3x − 5. Poli es varios.
Para saber cuál es, contá los signos + y − que separan bloques. En 2x² + 3x − 5 hay tres bloques, así que es un polinomio de tres términos. En 3x hay uno solo: monomio.
Cuidado: el signo de adentro de un paréntesis no separa términos. 3(x − 5) es un solo bloque mientras el paréntesis esté ahí; recién al distribuir se convierte en 3x − 15, que sí son dos.
La tabla de traducción, y la palabra que la ordena
| Lenguaje común | Palabra clave | Lenguaje algebraico |
|---|---|---|
| El doble de un número | doble → por 2 | 2x |
| El triple de un número | triple → por 3 | 3x |
| La mitad de un número | mitad → entre 2 | x/2 |
| La suma de dos números | suma → más | x + y |
| El cuadrado de un número | cuadrado → grado 2 | x² |
| Un número disminuido en 5 | disminuido → menos | x − 5 |
| El triple de un número aumentado en 4 | triple + aumentado | 3x + 4 |
| El triple de un número aumentado en 4, si el aumento es primero | paréntesis | 3(x + 4) |
Las dos últimas filas son la trampa clásica. La coma y el orden de lectura deciden. Si primero se aumenta y después se triplica, el aumento va dentro del paréntesis. Si primero se triplica y después se aumenta, no hay paréntesis. Leé el enunciado en voz alta y preguntate qué pasó primero en la historia.
Ejemplos resueltos
1. Traducí: «el doble de un número, más 3, es igual a 11». ¿Cuál es el número? «El doble de un número» es 2x. «Más 3» se suma después: 2x + 3. «Es igual a 11» pone el signo igual: 2x + 3 = 11. Resuelvo: resto 3 en los dos lados → 2x = 8; divido entre 2 → x = 4. Comprobación: 2 · 4 + 3 = 8 + 3 = 11. Coincide.
2. Traducí: «el doble de la suma de un número y 3 es 14». Aquí la suma va primero, así que se encierra: 2(x + 3) = 14. Distribuyo: 2x + 6 = 14; resto 6 → 2x = 8; divido → x = 4. Comprobación: 2(4 + 3) = 2 · 7 = 14. Coincide. Fijate que el ejemplo 1 y este dieron el mismo número por casualidad, pero las expresiones eran distintas.
3. En el término −7x³, ¿cuál es el coeficiente, la parte literal y el grado? El coeficiente es −7 (el signo va con el número), la parte literal es x³ y el grado es 3.
4. ¿5x² − 2x + 9 es monomio o polinomio? ¿De qué grado? Tiene tres bloques separados por − y +, así que es un polinomio de tres términos. Su grado es el mayor de los grados de sus términos: 2.
5. Traducí: «la mitad de un número, disminuida en 4, da 6». «La mitad de un número» es x/2. «Disminuida en 4» resta después: x/2 − 4. Queda x/2 − 4 = 6. Sumo 4 en los dos lados: x/2 = 10; multiplico los dos lados por 2 → x = 20. Comprobación: 20/2 − 4 = 10 − 4 = 6. Coincide.
Los errores que más se cobran
- Traducir en el orden en que aparecen las palabras, sin ver qué se hace primero. «El doble de la suma» exige paréntesis porque la suma ocurre antes; escribir 2x + 3 en ese caso cambia el problema entero.
- Confundir «disminuido en 5» con «disminuido 5 veces». Lo primero es restar, x − 5; lo segundo sería dividir. La preposición «en» marca resta.
- Perder el signo del coeficiente. En −7x el coeficiente es −7, no 7. El signo es parte del número, y si lo dejás afuera te cambia el resultado al sustituir.
- Contar mal los términos por culpa de un paréntesis. Mientras haya paréntesis, lo de adentro es un bloque. 3(x − 5) es un monomio hasta que se distribuye.
- Escribir el grado como si fuera el coeficiente. En 5x², el 5 dice cuántas veces se toma x², y el 2 dice que x se multiplica por sí misma. Son papeles distintos y la prueba los pregunta por separado.
- Usar dos letras distintas para el mismo número. Si el enunciado habla siempre «de un número», es una sola variable. Poner x y después y crea un problema que no se puede resolver.
Clave de análisis
No hace falta saberse la tabla de traducción: se reconstruye con la operación que hay detrás de cada palabra. «Doble», «triple» y «cuádruple» multiplican; «mitad» y «tercera parte» dividen; «aumentado» y «suma» suman; «disminuido» y «diferencia» restan; «cuadrado» y «cubo» son exponentes. Si te topás con una palabra que no está en ninguna lista, preguntate qué le hace al número y la traducción sale sola.
Lo que sí hay que tener siempre presente es el orden de la historia, porque de ahí sale el paréntesis. La pregunta que decide es una: ¿qué pasó primero? Si primero se sumó y después se multiplicó, la suma va encerrada. Si primero se multiplicó, no hay paréntesis. Y una vez traducido, la traducción se comprueba igual que una ecuación: sustituís el valor que encontraste en la expresión que escribiste y verificás que la historia se cumpla en números.