Geometría
Perímetro y área de figuras planas
Al terminar vas a poder distinguir el perímetro del área sin dudar, explicar de dónde sale cada fórmula en vez de repetirla, y decidir qué unidad lleva la respuesta antes de escribirla.
Dos preguntas distintas sobre la misma figura
Imaginate un potrero. Para cercarlo con alambre te interesa cuánto mide el borde; para sembrarlo de zacate te interesa cuánta superficie hay adentro. Dos preguntas, dos medidas.
- Perímetro: la medida del contorno. Es una longitud: se mide en cm, m, km.
- Área: la medida de la superficie. Se mide en unidades cuadradas: cm², m², km².
El perímetro se camina; el área se pinta. Si se recorre con el dedo por el borde, es perímetro; si hay que rellenar por dentro, es área.
Y ahí está el porqué del 2 en las unidades del área: el área cuenta cuadraditos. La unidad es un cuadrado de 1 cm de lado, y «40 cm²» quiere decir que caben 40 de esos.
El perímetro no necesita fórmula: es una suma
El perímetro de cualquier figura de lados rectos es la suma de todos sus lados. Las fórmulas son atajos para cuando hay lados repetidos.
- El cuadrado tiene cuatro lados iguales: en vez de l + l + l + l se escribe 4·l.
- El rectángulo tiene dos bases y dos alturas: b + h + b + h se escribe 2·(b + h).
- Un triángulo y un trapecio no repiten todos sus lados, así que ahí no hay atajo: se suman uno por uno. Por eso la tabla dice «suma de lados»: no falta la fórmula, la suma es la fórmula.
El círculo es el caso aparte, porque no tiene lados. El número π es cuántas veces cabe el diámetro a lo largo del borde: poco más de tres veces, aproximadamente 3,14. Como el diámetro es 2·r, el contorno mide 2·π·r.
De dónde sale cada fórmula de área
Rectángulo: b · h. Si la base mide 8 cm y la altura 5 cm, en cada fila caben 8 cuadraditos y hay 5 filas: 8 × 5 = 40. Multiplicar base por altura es contar filas de cuadraditos. El cuadrado es ese mismo caso con los lados iguales: l · l = l².
Paralelogramo: b · h. Cortá el triángulo que sobra de un lado y pegalo del otro: queda un rectángulo de la misma base y la misma altura. De ahí sale el detalle que más se cobra: la altura es la perpendicular, no el lado inclinado.
Triángulo: (b · h) ÷ 2. Dos triángulos iguales, uno volteado sobre el otro, arman un paralelogramo de igual base y altura. Si ese paralelogramo mide b · h, un triángulo es la mitad.
Trapecio: ((B + b) · h) ÷ 2. Dos trapecios iguales, uno volteado, arman un paralelogramo de base B + b y altura h: un trapecio es la mitad. La fórmula es el promedio de las bases por la altura.
Círculo: π · r². Lo importante es la consecuencia: el área crece con el cuadrado del radio, así que duplicar el radio hace el área cuatro veces mayor, no el doble.
| Figura | Perímetro | Área |
|---|---|---|
| Cuadrado (lado l) | 4·l | l² |
| Rectángulo (base b, altura h) | 2·(b + h) | b · h |
| Triángulo (base b, altura h) | suma de lados | (b · h) ÷ 2 |
| Paralelogramo (base b, lado l) | 2·(b + l) | b · h |
| Trapecio (bases B y b, altura h) | suma de lados | ((B + b) · h) ÷ 2 |
| Círculo (radio r) | 2·π·r | π · r² |
Las unidades: por qué un metro cuadrado no son cien centímetros cuadrados
Es cierto que 1 m = 100 cm. Pero el metro cuadrado es un cuadrado de 100 cm por 100 cm, y 100 × 100 = 10.000: 1 m² = 10.000 cm².
La razón: el área multiplica dos longitudes, así que el factor también se eleva al cuadrado. Si el problema da metros y pide centímetros cuadrados, convertí las longitudes antes de multiplicar.
Ejemplos resueltos
1. Calculá el perímetro y el área de un rectángulo de 8 cm de base y 5 cm de altura. Perímetro: dos bases y dos alturas → 2·(8 + 5) = 26 cm. Área: 8 × 5 = 40 cm². Comprobación: lado por lado, 8 + 5 + 8 + 5 = 26. Y el área lleva cm² porque se multiplicaron dos longitudes.
2. Un trapecio tiene bases de 10 cm y 6 cm, y altura de 4 cm. Calculá su área. Sumo las bases: 10 + 6 = 16. Multiplico por la altura: 16 × 4 = 64. Divido entre 2, porque el trapecio es la mitad del paralelogramo armado con dos copias: 64 ÷ 2 = 32 cm². Comprobación: el promedio de las bases es 8, y un rectángulo de 8 por 4 da 32 cm².
3. Un círculo tiene radio 7 cm. Usá π ≈ 3,14. Circunferencia: 2 × 3,14 × 7 = 6,28 × 7 = 43,96 cm. Área: 3,14 × 7² = 3,14 × 49 = 153,86 cm². Comprobación: el círculo cabe en un cuadrado de lado 14 cm, de 196 cm². Como 153,86 es menor que 196 y mayor que su mitad, el resultado es razonable.
4. Una finca rectangular mide 3 m por 2 m. ¿Cuál es su área en centímetros cuadrados? Convierto primero las longitudes: 3 m = 300 cm y 2 m = 200 cm. Área: 300 × 200 = 60.000 cm². Comprobación por el otro camino: en metros el área es 3 × 2 = 6 m², y como 1 m² = 10.000 cm², son 60.000 cm². Quien multiplica 6 por 100 y contesta 600 cm² no elevó al cuadrado el factor.
Los errores que más se cobran
- Dar el área en cm en vez de cm². El porqué: el área multiplica dos longitudes, y las unidades se multiplican igual: cm × cm = cm².
- Usar el lado inclinado como altura. El porqué: la fórmula viene de convertir la figura en un rectángulo, y ahí el lado vertical es perpendicular a la base. El inclinado es más largo y da un área inflada.
- Olvidar el ÷ 2 en el triángulo y el trapecio. El porqué: las dos fórmulas salen de armar un paralelogramo con dos copias de la figura. Sin dividir, calculás las dos.
- Convertir m² a cm² multiplicando por 100. El porqué: el área tiene dos lados, así que el factor es 100 × 100 = 10.000.
- Confundir radio con diámetro. El porqué: las fórmulas usan el radio. Si el problema da 14 cm de diámetro, el radio es 7 cm; usar 14 cuadruplica el área.
- Sumar solo dos lados del rectángulo. El porqué: el perímetro recorre el contorno completo, y el rectángulo tiene cuatro lados. Por eso la fórmula lleva el 2 afuera.
Clave de análisis
Si se te borra la tabla, la reconstruís con dos ideas.
La primera: el perímetro es una suma de lados. Sus fórmulas son atajos para contar lados repetidos, y donde no hay repetición no hay atajo. El caso aparte es el círculo, cuyo borde mide 2·π·r porque π cuenta cuántas veces cabe el diámetro alrededor.
La segunda: toda área se reduce al rectángulo. Base por altura es contar cuadraditos en filas; el paralelogramo es un rectángulo disfrazado; el triángulo y el trapecio son la mitad de un paralelogramo armado con dos copias, y por eso llevan el ÷ 2. Con esa cadena volvés a escribir la tabla entera.
Y antes de entregar cualquier respuesta, hacé la pregunta que decide la unidad: ¿esto se camina o se pinta? Si se camina va en cm o m; si se pinta, en cm² o m².