Función lineal: y = ax + b

En la prueba, la función lineal aporta 2 preguntas, dentro de las 18 del área de Relaciones y álgebra.

Qué tiene de especial una función lineal

Es una relación entre dos cantidades donde por cada paso que avanza una, la otra cambia siempre lo mismo. Ese «siempre lo mismo» es toda la definición: si el cambio es constante, es lineal; si el cambio varía, no lo es.

Se escribe y = ax + b, y cada letra tiene un trabajo concreto:

• a es la pendiente: cuánto cambia y cada vez que x aumenta en 1.
• b es el valor inicial: lo que vale y cuando x es 0.

Por qué la b se lee donde x vale 0. Sustituí x = 0: y = a · 0 + b = b. El término con la x desaparece porque cualquier cosa por cero es cero, y queda la b sola. Por eso en el gráfico b es donde la recta corta el eje vertical: ese eje es la línea en la que x vale 0.

Cómo se pasa de una situación a la fórmula

Un taxi cobra ₡700 de base y ₡400 por kilómetro.

1. Lo que se paga aunque no avance nada es el valor inicial: b = 700, lo que hay cuando x = 0.
2. Lo que se suma por cada kilómetro es la pendiente: a = 400.
3. La fórmula es y = 400x + 700, donde x son los kilómetros.
4. Comprobación con 3 km: 400 × 3 + 700 = ₡1.900.

La pregunta típica es al revés: te dan la tabla y hay que encontrar la fórmula.

Cómo se saca la fórmula de una tabla

1. La b se lee directo: es el valor de y cuando x = 0, o sea 5. Si la tabla no trae el 0, sale retrocediendo un paso desde el primer valor.
2. La a es cuánto sube y de un paso al siguiente: de 5 a 8 sube 3, y de ahí en adelante siempre 3.
3. La fórmula es y = 3x + 5.

Comprobación obligatoria: con dos puntos cualquier par de números encaja, pero la fórmula tiene que servir para todos los renglones. Probá con x = 3: 3 × 3 + 5 = 14. Coincide con la tabla.

Cómo se reconoce que NO es lineal

Si la diferencia entre valores seguidos no es siempre la misma, no es lineal. En la sucesión 2, 4, 8, 16 las diferencias son 2, 4 y 8: cambian. Esa tabla no corresponde a y = ax + b, por más que los números crezcan de forma ordenada.

Cuidado: los pasos de x también tienen que ser iguales para que la comparación valga. Si x va 0, 1, 3, 5, cada diferencia de y hay que dividirla entre el salto de x que le corresponde.

Qué dice el signo de la pendiente

• a positiva: cada paso suma, así que la recta sube hacia la derecha.
• a negativa: cada paso resta, así que la recta baja.
• a igual a cero: no cambia nada al avanzar, así que la recta queda horizontal y y vale siempre b.

No hay que saberse esto de antemano: el signo de a es el signo del cambio.

Ejemplos resueltos

1. Una pulpería cobra ₡2.000 fijos por el mandado y ₡300 por producto. Escribí la fórmula y calculá el costo de 6 productos. Lo fijo es b = 2000; lo que se suma por producto es a = 300. Fórmula: y = 300x + 2000. Con x = 6: 300 × 6 + 2000 = ₡3.800. Comprobación con x = 0: 300 × 0 + 2000 = 2000, justo el cobro fijo.

2. Sacá la fórmula de esta tabla: x = 0, 1, 2, 3 e y = 10, 7, 4, 1. La b es el valor de y cuando x = 0: 10. La diferencia de un paso al otro es 7 − 10 = −3, y se repite: 4 − 7 = −3 y 1 − 4 = −3. La pendiente es negativa. Fórmula: y = −3x + 10. Comprobación con x = 3: −3 × 3 + 10 = −9 + 10 = 1. Coincide.

3. ¿La tabla x = 1, 2, 3, 4 con y = 3, 6, 12, 24 es lineal? Diferencias: 6 − 3 = 3, 12 − 6 = 6, 24 − 12 = 12. No son iguales, así que no es lineal y no se puede escribir como y = ax + b.

4. Una tabla empieza en x = 1 con y = 9 y sube 4 por cada paso. ¿Cuál es la b? La b es el valor en x = 0, y la tabla empieza en x = 1. Retrocedo un paso: si al avanzar sube 4, al retroceder baja 4, así que en x = 0 vale 9 − 4 = 5. Fórmula: y = 4x + 5. Comprobación con x = 1: 4 × 1 + 5 = 9. Coincide.

5. En y = −2x + 7, ¿cuánto vale y cuando x = 4, y qué hace la recta? y = −2 × 4 + 7 = −8 + 7 = −1. Como a es negativa, la recta baja hacia la derecha, y corta el eje vertical en 7.

Los errores que más se cobran

1. Confundir a con b. La b es el punto de partida —lo que hay antes de avanzar—; la a es el cambio por paso. Intercambiarlas da una fórmula que falla en todos los renglones menos uno.
2. Sacar la pendiente restando al revés. La diferencia es el valor nuevo menos el anterior. Al revés se invierte el signo y una recta que sube se vuelve una que baja.
3. Dar por lineal una tabla que no lo es. Sin revisar que la diferencia sea constante en todos los pasos, podés armar una fórmula que sirve para los dos primeros y falla en el tercero.
4. Leer el corte en el eje equivocado. El valor inicial se lee en el eje vertical, donde x vale 0, porque ahí el término ax se anula.
5. No comprobar con un segundo valor. Dos números siempre se acomodan; el tercero es el que confirma la fórmula.
6. Olvidar el paréntesis al sustituir un negativo. En y = 3x + 5 con x = −2 va 3 × (−2) + 5 = −1. Sin paréntesis se pierde el signo.

Clave de análisis

Si se te borra la fórmula, reconstruila preguntándote cuánto hay al empezar y cuánto se agrega por paso. Lo primero es la b, lo segundo es la a, y la fórmula solo dice «tomá el punto de partida y sumale el cambio tantas veces como pasos diste»: y = ax + b. Con esa frase armás la ecuación de cualquier taxi y de cualquier tabla del examen.

De ahí salen también las dos lecturas del gráfico. La b es donde la recta corta el eje vertical, porque ese eje es la línea donde x vale 0 y el término con x se anula. La a es la inclinación: dice cuánto sube o baja la recta por cada paso hacia la derecha. Y la comprobación siempre es la misma: tomá un renglón de la tabla que no hayás usado para armar la fórmula y verificá que la fórmula lo reproduzca.