Geometría
Pirámides, prismas y secciones planas
Al terminar vas a poder nombrar las partes de una pirámide y de un prisma, explicar por qué un corte paralelo a la base repite la forma de la base, y decidir qué figura aparece en cualquier sección plana sin tener que verla dibujada.
En la prueba, visualización espacial aporta 4 preguntas.
Un cuerpo se describe por su base y por lo que hace al subir
Los dos cuerpos de esta lección arrancan de una figura plana, la base. Lo que cambia es qué pasa hacia arriba.
- En la pirámide, todo se junta en un punto. Por eso termina en punta y tiene una base.
- En el prisma, la base se repite igual arriba. Por eso tiene dos bases y no termina en punta.
Esa sola diferencia —¿se cierra en un punto o se copia arriba?— explica todo lo demás: cuántas bases hay, qué forma tienen las caras y qué queda al cortar.
Las partes de una pirámide recta
- Base: la cara de abajo. Le da el nombre al cuerpo: si es cuadrada, la pirámide es cuadrangular.
- Caras laterales: siempre triángulos. El porqué: cada lado de la base sube hasta un mismo punto, y dos vértices abajo con uno arriba forman un triángulo.
- Ápice o cúspide: el punto donde se juntan las caras laterales.
- Altura: el segmento perpendicular del ápice a la base. Va por dentro del cuerpo.
- Apotema: la altura de una cara lateral, del ápice al punto medio de un lado de la base. Va sobre la cara.
La confusión más común es altura contra apotema. Se distinguen por dónde pasan: la altura entra por dentro y cae en el centro de la base; la apotema viaja sobre la cara y cae en el borde. Como llega más lejos del centro, la apotema siempre es más larga.
De ahí sale un dato útil: hay tantas caras laterales como lados tenga la base. La pirámide cuadrangular tiene cuatro triángulos más la base: cinco caras.
Las partes de un prisma recto
- Dos bases iguales y paralelas, una arriba y otra abajo.
- Caras laterales rectangulares, no triangulares. El porqué: cada lado de abajo sube derecho hasta su gemelo de arriba, y dos lados paralelos unidos por dos verticales forman un rectángulo.
- Altura: la distancia entre las dos bases.
| Pirámide | Prisma | |
|---|---|---|
| Bases | Una | Dos, iguales y paralelas |
| Caras laterales | Triángulos | Rectángulos |
| Arriba | Termina en punta (ápice) | Termina en una base igual |
La sección plana: qué queda cuando un plano corta el cuerpo
Sección plana es la figura que aparece cuando un plano atraviesa un cuerpo. Se contesta con una sola idea: cada cara que el plano cruza aporta un lado a la figura del corte. Con eso no hay lista que aprenderse: se deduce.
En una pirámide de base cuadrada:
- Corte horizontal, paralelo a la base → cruza las cuatro caras laterales, así que la figura tiene cuatro lados, y como sube parejo achica todo igual: un cuadrado más pequeño.
- Corte vertical por el ápice → arriba las caras se juntan en un punto, así que la figura se cierra en pico: un triángulo.
- Corte inclinado → el plano queda más cerca del ápice de un lado que del otro, así que los lados paralelos salen de distinto largo: un trapecio.
En un prisma recto de base rectangular:
- Corte horizontal → un rectángulo igual a la base, porque el prisma no cambia de grosor al subir.
- Corte vertical → un rectángulo: dos lados sobre las bases y dos sobre las caras.
- Corte inclinado → un rectángulo alargado o un paralelogramo.
La regla que ordena todo: un corte paralelo a la base conserva su forma. En el prisma sale del mismo tamaño; en la pirámide sale más pequeño, porque el cuerpo se va cerrando hacia el ápice.
Ejemplos resueltos
1. Una pirámide de base triangular se corta con un plano paralelo a la base. ¿Qué figura queda? Como el corte es paralelo, conserva la forma de la base: un triángulo más pequeño. El porqué: el plano cruza las tres caras laterales, así que la figura tiene tres lados, y como corta a la misma altura por todos lados, las reducciones son proporcionales. Comprobación: si el corte pasara por el ápice también daría un triángulo, pero por otra razón: ahí la figura se cierra en el punto de arriba.
2. ¿Cuántas caras, en total, tiene una pirámide de base pentagonal? La base tiene cinco lados, y cada lado sube hasta el ápice formando un triángulo: cinco caras laterales. Más la base: 5 + 1 = 6 caras. Comprobación: el mismo razonamiento en la pirámide cuadrangular da 4 + 1 = 5 caras, que es lo que se ve en cualquier dibujo.
3. Un estudiante dice que las caras laterales de un prisma son triángulos. ¿Por qué está mal? Porque las dos bases son iguales y paralelas: cada lado de abajo sube derecho hasta su gemelo de arriba y quedan dos lados paralelos unidos por dos verticales, o sea un rectángulo. Solo en la pirámide las caras se cierran en un punto, y por eso ahí sí son triángulos.
4. Una pirámide cuadrangular se corta con un plano vertical que pasa por el ápice. ¿Qué figura aparece y por qué no es un trapecio? Aparece un triángulo: como el plano pasa por el ápice, los dos bordes del corte se juntan arriba en un solo punto y la figura se cierra en pico. El trapecio aparece cuando el corte no llega al ápice: ahí arriba queda un segmento en vez de un punto.
Los errores que más se cobran
- Confundir altura con apotema. El porqué: las dos salen del ápice, pero por caminos distintos. La altura va por dentro y cae en el centro de la base; la apotema va sobre la cara y cae en el borde.
- Decir que las caras de un prisma son triángulos. El porqué: un triángulo aparece cuando algo se cierra en un punto, y el prisma no se cierra: su base se repite arriba.
- Creer que un corte paralelo da una figura distinta. El porqué: el plano cruza las mismas caras en el mismo orden, así que la figura tiene la misma cantidad de lados. En la pirámide cambia el tamaño, no la forma.
- Contar mal las bases. El porqué: la pirámide tiene una porque termina en punta; el prisma tiene dos porque la base se copia arriba.
- Responder por la apariencia del dibujo. El porqué: la perspectiva deforma las figuras. Un cuadrado en perspectiva se ve como un rombo, y quien responde a ojo contesta rombo.
- Olvidar que la base fija la cantidad de caras laterales. El porqué: cada lado de la base genera una cara. Sin contar los lados, el total se adivina.
Clave de análisis
Todo se reconstruye con una pregunta: ¿qué hace el cuerpo al subir desde la base?
Si se cierra en un punto, es una pirámide: una sola base, caras triangulares, un ápice, y una altura que entra por dentro mientras la apotema viaja por la cara. Si la base se copia arriba, es un prisma: dos bases iguales y paralelas, caras rectangulares, y una altura que es la distancia entre las bases.
Para las secciones planas, la idea que reemplaza a cualquier lista es esta: cada cara que el plano atraviesa aporta un lado a la figura del corte. Contá qué caras cruza y ya sabés cuántos lados tiene la respuesta. Un corte paralelo a la base repite su forma: igual en el prisma, más pequeña en la pirámide.
Si en el examen te aparece un cuerpo que nunca viste, preguntate por dónde entra el plano, por dónde sale y qué caras cruza en el camino. La figura del corte se arma sola.