Estadística y probabilidad
Moda, media, mínimo, máximo y recorrido
Al terminar vas a poder calcular las cinco medidas de resumen de un grupo de datos, explicar por qué el recorrido nunca puede dar negativo, y decidir cuándo la media deja de representar al grupo.
En la prueba, las medidas de resumen aportan 3 preguntas.
Cinco números para no tener que mirar todos los datos
Imaginate una lista con las notas de treinta estudiantes. Nadie la lee entera. Lo que se quiere saber es: ¿por dónde anda el grupo?, ¿cuál es lo peor y cuál lo mejor?, ¿qué tan separados están?
Cada una de esas preguntas tiene su número. La tabla oficial nombra estas cinco: moda, media aritmética, mínimo, máximo y recorrido. No son cinco cosas sueltas: son tres preguntas distintas sobre el mismo montón de datos.
| Pregunta | La contesta | Qué mide |
|---|---|---|
| ¿Qué es lo más común? | Moda | Repetición |
| ¿Por dónde anda el grupo? | Media | Reparto parejo |
| ¿Hasta dónde llegan? | Mínimo, máximo, recorrido | Extremos y separación |
El primer paso siempre es ordenar, y hay una razón
Ordenar de menor a mayor es lo primero, sin excepción. No es una manía: es lo que vuelve automáticas tres de las cinco medidas.
Con los datos ordenados, el mínimo es el primero de la fila y el máximo es el último. No hay que buscarlos, así que no hay dónde equivocarse. La moda también se ve de golpe, porque los repetidos quedan pegados.
Trabajemos con las notas de nueve estudiantes, ya ordenadas: 65, 70, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100.
Cómo se calcula cada una, paso a paso
Moda. Es el dato que más se repite. El 70 aparece dos veces y los demás una sola: moda = 70. Si ninguno se repitiera no habría moda; si dos empataran habría dos modas. Eso sale de la definición: un conteo admite empates.
Media aritmética. Se suman todos y se divide entre cuántos son, porque la media es el reparto parejo: lo que le tocaría a cada uno si todos quedaran iguales.
- Suma: 65 + 70 + 70 + 75 + 80 + 85 + 90 + 95 + 100 = 730.
- Cantidad de datos: 9.
- Reparto: 730 ÷ 9 = 81,1 (redondeado a una decimal).
Comprobación: 81,1 × 9 = 729,9, prácticamente la suma original. La diferencia es solo el redondeo.
Mínimo. El dato más pequeño: 65, el primero de la fila ordenada.
Máximo. El más grande: 100, el último de la fila.
Recorrido. Es máximo menos mínimo: 100 − 65 = 35. Mide qué tanto se estiran los datos, o sea el ancho del grupo.
El recorrido se resta en ese orden porque mide una distancia, y una distancia no es negativa. El máximo siempre es mayor o igual que el mínimo, así que esa resta nunca da menos que cero. Si te dio negativo, restaste al revés.
Cuándo la media engaña
La media suma tamaños: un dato muy alejado entra completo a la suma y después se reparte entre todos, jalando el resultado hacia él.
Caso resuelto. En un taller, cuatro personas ganan ₡300.000 y una gana ₡2.000.000.
- Suma: (300.000 × 4) + 2.000.000 = 1.200.000 + 2.000.000 = 3.200.000.
- Media: 3.200.000 ÷ 5 = ₡640.000.
- Pero cuatro de cinco ganan menos de la mitad de eso.
- La moda, ₡300.000, sí describe lo que gana la mayoría.
La regla corta: cuando hay un dato muy alejado del resto, la media se corre hacia él y deja de representar al grupo. El recorrido, ₡1.700.000, es la señal de alarma.
Ejemplos resueltos
1. Sacá las cinco medidas de: 12, 9, 15, 9, 11. Primero ordeno: 9, 9, 11, 12, 15. Mínimo = 9 (el primero). Máximo = 15 (el último). Recorrido = 15 − 9 = 6. Moda = 9, porque aparece dos veces y ninguno más se repite. Media: 9 + 9 + 11 + 12 + 15 = 56, y 56 ÷ 5 = 11,2. Comprobación: 11,2 × 5 = 56, la suma original, y la media cae entre el mínimo y el máximo.
2. El recorrido de un grupo de datos es 0. ¿Qué se puede afirmar? Recorrido = máximo − mínimo = 0 quiere decir que el máximo y el mínimo son el mismo número, y si el más grande y el más pequeño son iguales, todos los datos son iguales. Entonces la media vale ese mismo número, y ese número es la moda. Comprobación: con 7, 7, 7, 7 el recorrido es 0, la media es 28 ÷ 4 = 7 y la moda es 7.
3. Las temperaturas de cinco días fueron 24, 26, 31, 22 y 27 grados. ¿Cuál es el recorrido y qué significa? Ordeno: 22, 24, 26, 27, 31. Mínimo = 22, máximo = 31. Recorrido = 31 − 22 = 9 grados: esa fue la diferencia entre el día más fresco y el más caliente. No dice nada sobre los días del medio, porque el recorrido solo mira los extremos.
4. Un grupo de seis datos tiene media 20. Si se sabe que cinco de ellos son 14, 18, 21, 23 y 25, ¿cuál es el sexto? Si la media es 20 con seis datos, la suma total debe ser 20 × 6 = 120. Los cinco conocidos suman 14 + 18 + 21 + 23 + 25 = 101. El que falta es 120 − 101 = 19. Comprobación: 14 + 18 + 19 + 21 + 23 + 25 = 120, y 120 ÷ 6 = 20. Cuadra.
5. En 4, 4, 7, 9, 9, 12, ¿cuál es la moda? Conteo: el 4 aparece dos veces, el 9 aparece dos veces, el 7 y el 12 una vez. Hay empate entre 4 y 9: el conjunto tiene dos modas. Responder solo «4» o solo «9» está incompleto.
Los errores que más se cobran
- Restar al revés en el recorrido. El porqué: el recorrido es una distancia entre extremos, y una distancia no es negativa. Es siempre máximo menos mínimo.
- Confundir la moda con el dato mayor. El porqué: la moda sale de contar repeticiones, no de comparar tamaños. El más grande puede aparecer una sola vez.
- Dividir entre la cantidad equivocada. El porqué: se divide entre cuántos datos hay en total, contando los repetidos. En 70, 70, 80 son tres datos, no dos.
- No ordenar antes de empezar. El porqué: sin ordenar, el mínimo y el máximo hay que cazarlos a ojo. Ordenado, están en las puntas.
- Creer que siempre hay una sola moda. El porqué: la definición admite empate (dos modas) y admite que nadie se repita (sin moda).
- Usar la media sin mirar el recorrido. El porqué: un recorrido muy grande avisa que hay datos separados, y con extremos la media deja de describir a la mayoría.
Clave de análisis
Las cinco medidas no se aprenden en fila: se reconstruyen desde lo que cada una pregunta. La moda cuenta (¿cuál se repite más?). La media reparte (junto todo y lo divido entre cuántos son). El mínimo, el máximo y el recorrido miran los bordes (el primero de la fila, el último, y la distancia entre los dos).
De ahí salen las reglas: ordenar es el primer paso porque coloca el mínimo y el máximo en las puntas; el recorrido no da negativo porque es una distancia; puede haber dos modas o ninguna porque un conteo admite empates.
Y queda una comprobación que sirve siempre: la media tiene que caer entre el mínimo y el máximo. Si te dio un número fuera de ese rango, el error está en la suma o en la división, y lo encontrás sin volver a hacer todo el ejercicio.