Geometría
Homotecias: agrandar sin deformar
Al terminar vas a poder reconocer una homotecia, calcular su razón y aplicarla a cualquier lado, explicar por qué los ángulos no cambian aunque la figura crezca, identificar puntos y lados homólogos, y decidir si dos figuras del plano son homotéticas.
En la prueba, el área de Geometría trae 13 preguntas, y 2 son de homotecias.
Qué es una homotecia y qué necesita
Es una transformación que agranda o achica una figura sin deformarla. Hacen falta dos cosas, y solo dos:
- un punto fijo llamado centro, que no se mueve;
- un número llamado razón, que se escribe k.
La regla es una sola: cada punto se aleja o se acerca al centro multiplicando su distancia por k. Si un vértice estaba a 3 cm del centro y k = 2, su homólogo queda a 6 cm, sobre la misma recta que sale del centro.
De ahí sale lo demás sin necesidad de listas. Como todas las distancias se multiplican por el mismo número, la figura crece o se achica parejo: ningún lado crece más que otro. Por eso los ángulos no cambian. Un ángulo depende de la inclinación entre dos lados, no de su largo; si los dos lados se estiran en la misma proporción, la inclinación entre ellos queda igual.
Una maqueta es una homotecia de un edificio: misma forma, todas las medidas multiplicadas por la misma razón.
Qué hace la razón k
| Valor de k | Qué le pasa a la figura | Por qué |
|---|---|---|
| k > 1 | crece | las distancias se multiplican por más de 1 |
| 0 < k < 1 | se achica | multiplicar por menos de 1 acorta |
| k = 1 | queda igual | multiplicar por 1 no cambia nada |
| k negativo | queda al otro lado del centro, invertida | el signo cambia el sentido desde el centro |
Con k = 2 todo mide el doble; con k = ½, todo mide la mitad. Lo que nunca cambia son los ángulos: una homotecia cambia el tamaño, jamás la forma.
Puntos y lados homólogos
Homólogo quiere decir «el que le corresponde». Si el triángulo ABC se transforma en A′B′C′:
- A y A′ son puntos homólogos.
- El lado AB y el lado A′B′ son lados homólogos.
- El ángulo en A y el ángulo en A′ son ángulos homólogos, y miden lo mismo.
Cómo se reconocen: los tres puntos —el centro, el original y su homólogo— quedan sobre una misma recta. No es un dato suelto: sale de la regla. Como el punto nuevo se obtiene alejándose o acercándose al centro en la misma dirección, queda sobre la recta que une el centro con el punto original.
Cómo se calcula la razón
La razón sale de dividir la medida nueva entre la original. El orden importa y tiene su razón: k es el número por el que hay que multiplicar el original para llegar al nuevo, así que se despeja dividiendo el nuevo entre el original.
Un triángulo tiene un lado de 4 cm y su homotético tiene el lado homólogo de 10 cm.
- k = 10 ÷ 4 = 2,5.
- Si otro lado del original mide 6 cm, su homólogo mide 6 × 2,5 = 15 cm.
- Comprobación: todos los lados deben dar la misma razón. Si uno da distinto, no es homotecia: la figura se deformó.
Cómo se reconocen figuras homotéticas en el plano
- Uní cada vértice con su correspondiente con una recta.
- Si todas esas rectas se cortan en un mismo punto, ese punto es el centro y las figuras sí son homotéticas.
- Si no se cortan todas en el mismo punto, no lo son.
Por qué funciona: si hay homotecia, cada punto y su homólogo están alineados con el centro. Entonces todas esas rectas pasan por el mismo centro y concurren. Si no concurren, no hay ningún punto que pueda funcionar como centro.
Ejemplos resueltos
1. Un cuadrado de lado 5 cm se transforma en otro de lado 15 cm por una homotecia. ¿Cuál es la razón? k = 15 ÷ 5 = 3. Es mayor que 1, así que la figura creció. Comprobación: 5 × 3 = 15. Coincide con el dato.
2. Un rectángulo mide 8 cm por 6 cm y se le aplica una homotecia de razón k = 0,5. ¿Cuánto miden sus lados homólogos? 8 × 0,5 = 4 cm y 6 × 0,5 = 3 cm. Comprobación: 4 ÷ 8 = 0,5 y 3 ÷ 6 = 0,5, la misma razón. Y como k está entre 0 y 1, la figura tenía que achicarse: 4 y 3 son menores que 8 y 6.
3. Un triángulo tiene lados de 3, 4 y 5 cm. Su supuesto homotético mide 6, 8 y 11 cm. ¿Es realmente una homotecia? Calculo las tres razones: 6 ÷ 3 = 2, 8 ÷ 4 = 2, pero 11 ÷ 5 = 2,2. No dan lo mismo, así que no es homotecia: ese tercer lado creció distinto y la figura se deformó.
4. En una homotecia, el ángulo en el vértice B del original mide 50°. ¿Cuánto mide el ángulo en B′? 50°, igual. Los lados se estiraron en la misma proporción, así que la inclinación entre ellos no cambió. La homotecia toca las longitudes, no los ángulos.
5. Un punto P está a 4 cm del centro O y se le aplica una homotecia de razón k = −2. ¿Dónde queda P′? A 4 × 2 = 8 cm del centro, pero del lado opuesto, sobre la misma recta que pasa por O y P. El signo negativo no cambia la distancia: cambia el sentido.
Los errores que más se cobran
- Confundir homotecia con traslación. La traslación mueve la figura sin cambiarle el tamaño; la homotecia cambia el tamaño. Si las dos figuras miden lo mismo, no hubo homotecia, salvo el caso k = 1.
- Creer que los ángulos crecen. Un ángulo no tiene longitud: es una inclinación. Multiplicar los dos lados por lo mismo no la modifica.
- Calcular la razón al revés. Es el nuevo dividido entre el original. Al revés da el inverso, y una figura que creció al doble aparece como si se hubiera achicado a la mitad.
- Olvidar que k negativo invierte la figura respecto del centro. La distancia se calcula igual, pero el punto queda al otro lado.
- Aplicar la razón a un solo lado. Si es homotecia, todos los lados se multiplican por k. Copiar los otros sin multiplicar deja una figura deformada.
- Dar por homotéticas dos figuras parecidas sin comprobar. Parecerse no basta: las razones tienen que dar todas lo mismo y las rectas tienen que concurrir.
Clave de análisis
Toda la lección se reconstruye desde la definición: una homotecia multiplica por el mismo número k la distancia de cada punto al centro, sin sacarlo de la recta que lo une con el centro. De ahí sale que la figura crezca si k > 1 y se achique si 0 < k < 1, que k = 1 no haga nada y que k negativo la mande al otro lado. Y de ahí sale que los ángulos no cambien, porque estirar los dos lados de un ángulo en la misma proporción no mueve su inclinación.
De la misma definición salen las dos comprobaciones que pide la prueba. ¿Todas las razones dan el mismo número? Dividí cada lado nuevo entre su homólogo original; si alguno se sale, la figura se deformó y no hay homotecia. ¿Las rectas que unen cada vértice con su homólogo se cortan todas en un mismo punto? Ese punto es el centro. Si no concurren, no existe centro posible y las figuras no son homotéticas, por más parecidas que se vean.