Números
Fracciones, decimales y su conversión
Al terminar vas a poder clasificar una fracción con solo mirar sus dos números, explicar por qué simplificar no cambia la cantidad, pasar de fracción a decimal y de decimal a fracción, y comparar dos fracciones de distinto denominador con dos métodos que dan lo mismo.
Qué dice cada número de una fracción
Una fracción es una división que quedó escrita. El denominador dice en cuántas partes iguales se partió el entero; el numerador dice cuántas de esas partes se tomaron. Pensalo con un queque partido: si lo cortás en cinco y agarrás tres, tenés 3/5.
De ahí sale la clasificación completa, sin listas que aprender aparte. Todo depende de si tomaste menos partes de las que hay, las mismas o más:
- Propia: el numerador es menor que el denominador. Ejemplo: 3/5. Como tomaste menos partes de las que había, vale menos de 1.
- Impropia: el numerador es mayor o igual que el denominador. Ejemplo: 7/4. Tomaste más partes de las que tenía un entero, así que vale 1 o más: hizo falta otro queque.
- Mixta: un entero acompañado de una fracción propia. Ejemplo: 2 y 1/3. Es la misma cantidad que una impropia, escrita de forma más fácil de imaginar.
La comparación con 1 es el criterio que ordena las tres. Si te olvidás de los nombres, mirá si el numerador es menor, igual o mayor que el denominador y reconstruís la clasificación en el acto.
Por qué simplificar no cambia nada
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Se obtienen multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo número.
La razón es directa: si partís el queque en el doble de pedazos pero agarrás el doble de pedazos, te llevás la misma cantidad de queque. Cambió cómo lo contás, no cuánto es.
6/8 = (6 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 3/4
Simplificar es dividir numerador y denominador entre su máximo común divisor hasta llegar a la fracción irreducible, la que ya no se puede achicar más. Se usa el máximo común divisor porque es el más grande que divide a los dos: así llegás al final en un solo paso, en vez de ir dividiendo entre 2 varias veces.
De fracción a decimal: la raya es una división
Como la fracción es una división pendiente, para pasarla a decimal se hace la división: numerador entre denominador.
3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75
El resultado puede salir de dos formas, y no es al azar:
- Decimal exacto: la división termina. 3/4 = 0,75.
- Decimal periódico: hay una cifra o un grupo que se repite sin fin. 1/3 = 0,333… El 3 se repite porque en la división el residuo se repite, y cuando el residuo vuelve, el cociente vuelve también.
De decimal a fracción: leer el nombre del decimal
El camino de vuelta sale de cómo se lee el número.
- Decimal exacto: 0,75 se lee «setenta y cinco centésimos», y eso es 75/100. Se simplifica: 75/100 = 3/4. La regla que muchos usan —poner tantos ceros como cifras decimales— no es un truco: es escribir lo que el número ya dice.
- Decimal periódico puro: 0,333… = 3/9, y simplificado, 1/3. El denominador lleva tantos nueves como cifras tenga el período.
Comparar fracciones: dos caminos, una misma razón
Comparar 3/5 con 3/7 es fácil: con el mismo numerador, gana la del denominador más chico, porque partir en menos pedazos deja pedazos más grandes. Pero cuando los dos números son distintos, hace falta un método.
Camino 1: denominador común. Comparar solo tiene sentido si las partes son del mismo tamaño. Por eso se llevan las dos fracciones al mismo denominador —el mínimo común múltiplo— y después se comparan los numeradores, que ahora cuentan pedazos iguales.
Compará 2/3 y 3/5. El mcm de 3 y 5 es 15. Entonces 2/3 = 10/15 y 3/5 = 9/15. Como 10 > 9, 2/3 > 3/5.
Camino 2: producto cruzado. Multiplicás en cruz y comparás los productos: 2 × 5 = 10 contra 3 × 3 = 9. Gana la fracción del lado del producto mayor, así que 2/3 > 3/5.
No son dos métodos distintos: el producto cruzado es el camino 1 con el paso de escribir el denominador ahorrado. Los productos 10 y 9 son justamente los numeradores que habrías obtenido sobre 15.
Ejemplos resueltos
1. Clasificá 9/4 y convertila a número mixto. El numerador es mayor que el denominador, así que es impropia. Divido: 9 ÷ 4 da 2 y sobran 1. El cociente es la parte entera y el residuo es el nuevo numerador: 2 y 1/4. Comprobación: 2 enteros son 8/4, más 1/4 son 9/4. Coincide.
2. Simplificá 18/24. El máximo común divisor de 18 y 24 es 6. Divido los dos: 18 ÷ 6 = 3 y 24 ÷ 6 = 4. Queda 3/4, irreducible. Comprobación: 18 ÷ 24 = 0,75 y 3 ÷ 4 = 0,75. Misma cantidad.
3. Pasá 0,625 a fracción. Se lee «seiscientos veinticinco milésimos»: 625/1000. Simplifico entre 125, que es el máximo común divisor: 625 ÷ 125 = 5 y 1000 ÷ 125 = 8. Queda 5/8. Comprobación: 5 ÷ 8 = 0,625. Coincide.
4. ¿Cuál es mayor, 5/8 o 7/12? Producto cruzado: 5 × 12 = 60 contra 7 × 8 = 56. Como 60 > 56, 5/8 > 7/12. Comprobación con decimales: 5 ÷ 8 = 0,625 y 7 ÷ 12 = 0,583… Coincide.
5. Ordená de menor a mayor: 2/5, 1/2 y 3/8. Los llevo a denominador común. El mcm de 5, 2 y 8 es 40: 2/5 = 16/40, 1/2 = 20/40 y 3/8 = 15/40. Ordeno los numeradores: 15 < 16 < 20, así que 3/8 < 2/5 < 1/2. Comprobación: 0,375 < 0,4 < 0,5.
Los errores que más se cobran
- Simplificar sumando o restando el mismo número. Solo sirve multiplicar o dividir. En 6/8, restarle 2 a cada uno da 4/6, que no es la misma cantidad: 0,75 contra 0,66…
- Dividir al revés al pasar a decimal. La fracción 3/4 es 3 ÷ 4 = 0,75, no 4 ÷ 3. El numerador va adentro de la división, porque es lo que se reparte.
- Comparar numeradores sin igualar los denominadores. Decir que 3/5 > 2/3 porque 3 > 2 es contar pedazos de distinto tamaño. Primero se igualan las partes.
- Creer que un denominador mayor significa una fracción mayor. Es al revés: a más partes, cada parte es más chica. 1/8 es menor que 1/4.
- Dejar la fracción sin simplificar cuando la respuesta del examen viene irreducible. 75/100 es correcto como cantidad, pero si las opciones dicen 3/4, hay que llegar hasta ahí.
- Poner mal los ceros al pasar un decimal a fracción. El denominador lleva un cero por cada cifra decimal: 0,7 es 7/10 y 0,07 es 7/100. Un cero de más o de menos cambia el número diez veces.
Clave de análisis
Casi todo este tema se reconstruye con una sola imagen: el denominador dice en cuántos pedazos se partió y el numerador cuántos se tomaron. De ahí sale que la fracción propia valga menos de 1 y la impropia 1 o más; de ahí sale que a más denominador, pedazos más chicos; y de ahí sale que multiplicar arriba y abajo por lo mismo no cambie la cantidad, porque partís más veces pero tomás más pedazos en la misma proporción.
La otra idea que ordena todo es que la raya de fracción es una división esperando que la hagan. Por eso para pasar a decimal se divide, y por eso cualquier duda se resuelve pasando las dos fracciones a decimal y comparando. Y para volver del decimal a la fracción alcanza con leer el número en voz alta: «setenta y cinco centésimos» ya es 75/100, y lo único que falta después es simplificar.