Cómo resolver una ecuación de primer grado

Qué se busca cuando se «resuelve»

Una ecuación es una igualdad con una incógnita, normalmente llamada x. La solución es el valor de x que hace que la igualdad sea verdadera. No estás calculando algo: estás buscando el número que hace cierta una afirmación.

Por eso resolver es una limpieza. La x empieza rodeada de cosas —paréntesis, números pegados, un coeficiente que la multiplica— y el trabajo es sacárselas de encima una por una, hasta que quede sola.

La única regla, y de dónde salen todas las demás

La igualdad dice que los dos lados valen lo mismo. Mientras le hagás la misma operación a los dos lados, siguen valiendo lo mismo: si sumás o restás lo mismo en ambos, se mantiene; si multiplicás o dividís ambos por el mismo número distinto de cero, también.

De aquí sale el «pasar al otro lado». Un término que sumaba aparece restando porque lo que hiciste fue restarlo en los dos lados. Un número que multiplicaba aparece dividiendo porque dividiste los dos lados entre él. El signo no cambia por capricho: cambia porque la operación que hiciste es la inversa.

Saber esto vale más que la regla suelta: si dudás del signo, lo reconstruís en el papel en cinco segundos.

Los cinco pasos y la razón de cada uno

1. Quitar paréntesis con la distributiva. Por qué primero: mientras un término esté encerrado, no lo podés juntar con los de afuera.
2. Agrupar: los términos con x a un lado, los números al otro. Por qué: la x no queda sola si tiene números haciéndole compañía del mismo lado.
3. Reducir términos semejantes. Por qué: 3x − x es la misma cantidad contada de otro modo, 2x. Deja un solo término de cada clase.
4. Despejar x dividiendo entre el coeficiente. Por qué: el coeficiente multiplica, y la división es lo único que deshace una multiplicación.
5. Verificar sustituyendo en la ecuación original. Por qué: si el valor es correcto, los dos lados dan el mismo número.

Ejercicio resuelto completo

Resolvé 3(x − 2) = x + 4.

1. Quito paréntesis: 3 · x − 3 · 2 = x + 4 → 3x − 6 = x + 4. El 3 multiplica a los dos términos de adentro, no solo al primero.
2. Agrupo: resto x en los dos lados y sumo 6 en los dos lados → 3x − x = 4 + 6.
3. Reduzco: 2x = 10.
4. Despejo: divido los dos lados entre 2 → x = 10/2 = 5.
5. Verificación: 3(5 − 2) = 3 · 3 = 9, y 5 + 4 = 9. Los dos lados dan 9.

Solución: x = 5.

Cuando la ecuación trae fracciones

Las fracciones no cambian el método: estorban. Por eso se eliminan antes de empezar, multiplicando los dos lados por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Se puede porque multiplicar ambos lados por el mismo número mantiene la igualdad, y conviene porque ese número está elegido para que todos los denominadores se cancelen de una vez.

Resolvé x/2 + x/3 = 5.

1. El mcm de 2 y 3 es 6. Multiplico todos los términos por 6: 6 · x/2 = 3x, 6 · x/3 = 2x y 6 · 5 = 30. Queda 3x + 2x = 30.
2. Reduzco: 5x = 30.
3. Despejo: x = 30 ÷ 5 = 6.

Verificación: 6/2 + 6/3 = 3 + 2 = 5. Coincide con el lado derecho.

Dos resultados que sorprenden y no son errores

A veces la x desaparece sola. Eso no significa que te equivocaste:

• Si te queda algo como 0 = 7, la ecuación no tiene solución. La afirmación es falsa para cualquier número, así que no hay valor de x que la vuelva cierta.
• Si te queda 0 = 0, cualquier valor de x sirve. La afirmación es cierta siempre; las dos expresiones eran la misma escrita distinto.

Ninguno de los dos es un error de procedimiento: son respuestas válidas y el examen las pregunta.

Ejemplos resueltos

1. Resolvé 4x + 5 = 2x + 13. Agrupo: resto 2x y resto 5 en los dos lados → 4x − 2x = 13 − 5. Reduzco: 2x = 8. Despejo: x = 4. Verificación: 4 · 4 + 5 = 21, y 2 · 4 + 13 = 21. Coinciden.

2. Resolvé 2(x + 3) = 2x + 6. Distributiva: 2x + 6 = 2x + 6. Resto 2x y resto 6 en los dos lados: 0 = 0. La igualdad es cierta para cualquier número, así que cualquier valor de x es solución.

3. Resolvé 5x − 4 = 5x + 1. Resto 5x en los dos lados: −4 = 1, o sea 0 = 5. Falso siempre: la ecuación no tiene solución. Tiene sentido, porque un mismo número no puede dar dos resultados distintos según le reste 4 o le sume 1.

4. Resolvé x/4 − 1 = 2. Sumo 1 en los dos lados: x/4 = 3. Multiplico los dos lados por 4: x = 12. Verificación: 12/4 − 1 = 3 − 1 = 2. Coincide.

5. Resolvé −3(x − 4) = 6. Distributiva cuidando el signo: −3x + 12 = 6. Resto 12 en los dos lados: −3x = −6. Divido entre −3: x = 2. Verificación: −3(2 − 4) = −3 · (−2) = 6. Coincide.

Los errores que más se cobran

1. Distribuir solo el primer término del paréntesis. En 3(x − 2), el 3 multiplica a x y a −2. Dejar 3x − 2 cambia la ecuación y arrastra el error hasta el final.
2. Olvidar el signo del número que sale del paréntesis con un menos adelante. En −3(x − 4), el menos afecta a los dos términos: queda −3x + 12, no −3x − 12.
3. Mover un término sin cambiarle el signo. Si pasás un +6 al otro lado como +6, no restaste nada: la balanza se rompió y la igualdad ya es otra.
4. Multiplicar por el mcm solo los términos con fracción. Hay que multiplicar todos los términos de los dos lados, incluido el que ya era entero. Si al 5 no lo multiplicás por 6, la igualdad deja de ser la misma.
5. Dividir un solo lado entre el coeficiente. En 2x = 10 hay que dividir los dos lados; dividir nada más la izquierda deja x = 10, que es falso.
6. Tratar 0 = 0 o 0 = 7 como si fueran errores y volver atrás a buscar una equivocación que no existe. Son las dos respuestas posibles cuando la x se cancela.

Clave de análisis

Los cinco pasos no hay que saberlos de memoria: están en orden de estorbo. Lo que más estorba es el paréntesis, porque encierra; después estorban las fracciones, porque ensucian; después los términos repartidos, porque hay que juntarlos; después el coeficiente, porque multiplica. Se van sacando de afuera hacia adentro hasta que la x queda sola. Si alguna vez no sabés qué hacer, preguntate qué es lo más de afuera que está tapando a la x y sacá eso primero.

Y lo que decide cada movimiento es siempre la misma idea: la igualdad se conserva solo si le hacés lo mismo a los dos lados. De ahí salen el cambio de signo, la desaparición del denominador y la división final. La verificación cierra el círculo: sustituís el valor en la ecuación original —no en una intermedia, porque ahí el error se repetiría— y mirás si los dos lados dan el mismo número.