Estadística y probabilidad
Espacio muestral, eventos y cálculo de probabilidades
Al terminar vas a poder escribir el espacio muestral de un experimento sin dejar resultados afuera, distinguir los tipos de evento, explicar por qué los casos posibles van en el denominador, y calcular una probabilidad comprobando que quede entre 0 y 1.
En la prueba, el espacio muestral, los eventos y el cálculo de probabilidades aportan 10 preguntas: es el bloque más pesado de Estadística.
Qué hace que un experimento sea aleatorio
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir, aunque se conozcan de antemano todos los resultados posibles: lanzar un dado, sacar una carta, girar una ruleta, rifar un pollo en la feria.
Se opone al determinista, donde el resultado es seguro: soltar una piedra y que caiga.
Fijate en la combinación exacta: se sabe qué puede pasar, pero no qué va a pasar. Si no supiéramos qué puede pasar, no habría manera de contar nada y la probabilidad no existiría. Toda esta materia se sostiene en que la lista de resultados posibles se puede escribir completa.
El espacio muestral: la lista completa
El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. Se escribe con llaves y se le suele llamar S. Cada resultado suelto es un punto muestral.
- Lanzar un dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seis puntos muestrales.
- Lanzar una moneda: S = {escudo, corona}, dos.
- Lanzar dos monedas: S = {(e,e), (e,c), (c,e), (c,c)}, cuatro.
Ojo con el último caso: (e,c) y (c,e) son distintos. Salió escudo en la primera y corona en la segunda no es lo mismo que al revés, aunque «una de cada una» suene igual. Si los juntás, contás tres resultados donde hay cuatro y toda probabilidad que calcules va a salir mal.
Cómo se arma sin dejar nada afuera: se recorre ordenadamente. Con dos monedas, fijás la primera en escudo y recorrés la segunda, después fijás la primera en corona y volvés a recorrer. Ese orden garantiza que no falte ninguno ni se repita.
Los tipos de evento, y la razón que los ordena
Un evento es una parte del espacio muestral: los resultados que cumplen una condición. Los tipos no son una lista suelta; se ordenan por cuántos resultados del espacio muestral abarcan:
| Tipo de evento | Cuántos resultados abarca | Ejemplo en un dado |
|---|---|---|
| Imposible | ninguno | «sale 9» |
| Simple | uno solo | «sale 4» = {4} |
| Compuesto | varios, pero no todos | «sale par» = {2, 4, 6} |
| Seguro | todos | «sale menos de 7» |
Un evento probable es cualquiera que puede ocurrir o no: está entre el imposible y el seguro. Con esa escala —de ninguno a todos— reconstruís los cinco nombres sin acordarte de la lista.
Por qué la probabilidad se calcula así
La probabilidad mide qué parte del total ocupa el evento. Si de diez resultados posibles tres son a favor, el evento ocupa tres de cada diez. Eso es exactamente una fracción:
P(evento) = casos a favor ÷ casos posibles
Los posibles van abajo porque son el total, igual que en cualquier fracción: el denominador es el entero, el numerador es la parte. Si los pusieras arriba estarías diciendo «el total es una parte del evento», que no tiene sentido.
De esa misma definición salen todas las reglas, sin necesidad de aprenderlas aparte:
- Un evento imposible vale 0, porque tiene cero casos a favor: 0 ÷ n = 0.
- Un evento seguro vale 1, porque sus casos a favor son todos los posibles: n ÷ n = 1.
- Ninguna probabilidad pasa de 1, porque la parte nunca es mayor que el total.
- Todas las probabilidades de un espacio muestral suman 1, porque los casos a favor de todos los eventos simples juntos son todos los posibles.
- P(no ocurre) = 1 − P(ocurre), porque lo que no está a favor está en contra, y entre los dos grupos está el total.
Ejemplos resueltos
1. En una bolsa hay 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una azul? Casos a favor: 3 azules. Casos posibles: 5 + 3 + 2 = 10 bolas en total, no 3. P(azul) = 3 ÷ 10 = 0,3 = 30 %. Comprobación: quedó entre 0 y 1.
2. Con la misma bolsa, ¿cuál es la probabilidad de NO sacar una azul? Se puede de dos maneras. Contando: las que no son azules son 5 + 2 = 7, así que 7 ÷ 10 = 0,7. O con la regla: 1 − 0,3 = 0,7. Coinciden, como tenía que ser.
3. Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número mayor que 4? S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seis posibles. A favor: {5, 6}, o sea 2. P = 2 ÷ 6 = 1/3 ≈ 0,33. Cuidado: «mayor que 4» no incluye el 4. Si incluyera, diría «4 o más».
4. Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente un escudo? S = {(e,e), (e,c), (c,e), (c,c)}, cuatro posibles. A favor: (e,c) y (c,e), que son dos resultados distintos. P = 2 ÷ 4 = 0,5 = 50 %. Si hubieras juntado (e,c) con (c,e), habrías puesto 1 ÷ 3 y el resultado sería falso.
5. Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7? Casos posibles: cada dado tiene 6 resultados, así que son 6 × 6 = 36 parejas. A favor: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1), o sea 6. P = 6 ÷ 36 = 1/6 ≈ 0,17. Comprobación: quedó entre 0 y 1, y es el resultado más probable de todas las sumas, que es lo que se espera del 7.
Los errores que más se cobran
- Poner los casos posibles arriba. La probabilidad es la parte sobre el total, así que el total va abajo. Al revés siempre da números mayores que 1, que son imposibles por definición.
- Contar mal el total. En la bolsa son 10 bolas, no 3. El denominador es todo lo que hay, no solo la categoría que te preguntan.
- Juntar resultados que son distintos. (e,c) y (c,e) se cuentan por separado porque el orden de los lanzamientos los diferencia. Al juntarlos, el espacio muestral se achica y todas las cuentas se corren.
- Confundir el evento con el espacio muestral. El evento es una parte; el espacio muestral es el total. Son numerador y denominador, no la misma cosa.
- Creer que aleatorio significa que todo vale igual. Si en la bolsa hay 5 rojas y 2 verdes, la roja es más probable. Aleatorio quiere decir que no se sabe cuál sale, no que todas tengan la misma chance.
- Dejar pasar una probabilidad mayor que 1 o negativa. Es imposible y delata un error de conteo sin necesidad de revisar todo el ejercicio.
Clave de análisis
Si se te olvidan las reglas, reconstruilas desde la definición. La probabilidad es la fracción que dice qué parte del total ocupa el evento. De ahí sale que el imposible valga 0 —no ocupa nada—, que el seguro valga 1 —lo ocupa todo—, que ninguna pase de 1 —una parte no supera al total— y que la de «no ocurre» sea 1 menos la de «ocurre» —entre lo que está a favor y lo que está en contra completás el total—.
Y el trabajo de verdad casi nunca es dividir: es contar bien. Antes de calcular nada, escribí el espacio muestral completo y en orden, y contá cuántos elementos tiene. Después contá los que cumplen la condición. Con esos dos números la división es lo fácil. La comprobación final siempre sirve: el resultado tiene que quedar entre 0 y 1; si se sale, contaste mal.