Relaciones y álgebra
Ecuaciones con denominadores
Al terminar vas a poder eliminar los denominadores de una ecuación multiplicando por el mínimo común múltiplo, explicar por qué eso no cambia la solución, cuidar el signo cuando el numerador tiene varios términos, y comprobar el resultado en la ecuación original.
Por qué molestan las fracciones
Una ecuación con denominadores no es más difícil que cualquier otra: es la misma ecuación, escrita de una manera incómoda. Sumar x/3 con x/2 obliga a buscar un denominador común; despejar con fracciones encima obliga a arrastrarlas en cada paso.
Por eso el método es siempre el mismo: primero se sacan las fracciones del camino, después se resuelve normal. No es un atajo ni un truco: es reescribir la misma igualdad en una forma que se deja trabajar.
El permiso: multiplicar los dos lados no cambia la solución
Una ecuación es una igualdad: los dos lados valen lo mismo. Si multiplicás los dos lados por el mismo número distinto de cero, siguen valiendo lo mismo. Dos cosas iguales, multiplicadas por 6, siguen siendo iguales.
Ese es el permiso que autoriza todo. La ecuación nueva y la vieja tienen exactamente la misma solución, porque una se obtiene de la otra sin romper la igualdad en ningún momento.
Ahora bien, se puede multiplicar por cualquier número: ¿por qué justo por el mínimo común múltiplo de los denominadores? Porque el mcm es el número más pequeño que contiene a todos los denominadores. Al multiplicar, cada denominador se cancela exacto y no quedan restos. Cualquier múltiplo común sirve —12 también funcionaría con denominadores 3 y 2—, pero el mínimo deja los números más chicos y menos errores de cuenta.
El paso que se olvida: multiplicar TODOS los términos
Multiplicar «la ecuación» por 6 significa multiplicar cada término de los dos lados, incluidos los que no tienen fracción. Si a un lado hay tres términos y al otro uno, se multiplican los cuatro.
Si te salteás el término entero, ya no multiplicaste los dos lados por lo mismo: rompiste la igualdad y la ecuación que te queda no es la misma que te dieron.
El signo: por qué el numerador va entre paréntesis
Una fracción como (x − 1)/4 tiene una raya de fracción que funciona como un paréntesis invisible: agrupa todo el numerador. Cuando multiplicás y la raya desaparece, ese agrupamiento tiene que quedar escrito, porque si no, el factor de afuera multiplica solo al primer término.
Esto se vuelve crítico cuando hay un signo menos adelante. En −(x + 3)/5, el menos afecta a todo el numerador: al distribuir queda −x − 3, no −x + 3.
Regla práctica: antes de multiplicar por el mcm, poné el numerador entre paréntesis. Cuesta un segundo y evita el error que más se cobra en este tema.
Ejemplos resueltos
1. Resolvé x/3 + x/2 = 5. El mcm de 3 y 2 es 6. Multiplico los tres términos por 6: 6 · x/3 = 2x, 6 · x/2 = 3x, 6 · 5 = 30. Queda 2x + 3x = 30. Reduzco: 5x = 30. Despejo: x = 6. Comprobación: 6/3 + 6/2 = 2 + 3 = 5. Coincide con el lado derecho.
2. Resolvé (x − 1)/4 = (x + 2)/3. El mcm de 4 y 3 es 12. Multiplico los dos lados, con los numeradores entre paréntesis: 12 · (x − 1)/4 = 3(x − 1) y 12 · (x + 2)/3 = 4(x + 2). Queda 3(x − 1) = 4(x + 2). Distribuyo: 3x − 3 = 4x + 8. Agrupo: resto 3x y resto 8 en los dos lados → −3 − 8 = 4x − 3x → −11 = x. Comprobación: (−11 − 1)/4 = −12/4 = −3, y (−11 + 2)/3 = −9/3 = −3. Los dos lados dan −3.
3. Resolvé x/2 − (x − 4)/6 = 1. El mcm de 2 y 6 es 6. Multiplico los tres términos: 6 · x/2 = 3x, 6 · (x − 4)/6 = (x − 4), y 6 · 1 = 6. Queda 3x − (x − 4) = 6. El paréntesis es indispensable: el menos afecta a los dos términos de adentro. Distribuyo: 3x − x + 4 = 6 → 2x + 4 = 6 → 2x = 2 → x = 1. Comprobación: 1/2 − (1 − 4)/6 = 0,5 − (−3)/6 = 0,5 + 0,5 = 1. Coincide.
4. Resolvé (2x + 1)/5 = 3. Hay un solo denominador, así que multiplico los dos lados por 5: 2x + 1 = 15. Resto 1: 2x = 14. Divido: x = 7. Comprobación: (2 · 7 + 1)/5 = 15/5 = 3. Coincide.
5. Un estudiante resolvió x/4 + 3 = x/2 multiplicando solo las fracciones por 4 y escribió x + 3 = 2x, con x = 3. ¿Está bien? No. Le faltó multiplicar el 3 por 4. Lo correcto: 4 · x/4 = x, 4 · 3 = 12, 4 · x/2 = 2x. Queda x + 12 = 2x → x = 12. Comprobación: 12/4 + 3 = 3 + 3 = 6, y 12/2 = 6. Coinciden. Con x = 3 daría 0,75 + 3 = 3,75 contra 1,5: no es solución.
Los errores que más se cobran
- Multiplicar solo los términos que tienen fracción. La igualdad se conserva únicamente si los dos lados se multiplican enteros. Dejar afuera el término sin denominador produce otra ecuación, con otra solución.
- No poner el numerador entre paréntesis. La raya de fracción agrupa; cuando se va, hay que escribir ese agrupamiento. Si no, el factor multiplica solo al primer término y el resto queda sin multiplicar.
- Perder el signo de un numerador con menos adelante. En −(x − 4), el menos cambia los dos signos: queda −x + 4. Cambiar uno solo es el error más frecuente del tema.
- Usar un múltiplo común que no cancela todos los denominadores. Multiplicar por 4 cuando hay un denominador 3 deja una fracción viva y no se ganó nada.
- Cancelar mal al multiplicar. 12 · (x − 1)/4 es 3(x − 1), no 12(x − 1) ni (x − 1)/3. El mcm se divide entre el denominador y ese resultado es el que multiplica al numerador.
- No comprobar en la ecuación original. Si sustituís en la ecuación ya sin denominadores, un error de multiplicación se repite y parece correcto. La comprobación vale solo si se hace en la ecuación con fracciones que te dieron.
Clave de análisis
Todo este tema se sostiene en una sola idea: una igualdad multiplicada por el mismo número en los dos lados sigue siendo la misma igualdad. De ahí sale el permiso para hacer desaparecer los denominadores, y de ahí sale también la obligación de multiplicar absolutamente todos los términos. Si alguna vez dudás de si un término va multiplicado, preguntate si al dejarlo afuera los dos lados seguirían pesando lo mismo: no, así que va.
La elección del mcm tiene su propia razón, y no hay que aprenderla aparte: es el número más chico en el que caben todos los denominadores, y por eso los cancela a todos sin dejar resto ni inflar las cuentas. Y el paréntesis en el numerador se reconstruye recordando qué hace la raya de fracción: agrupa. Cuando la raya se va, alguien tiene que seguir agrupando, y ese alguien es el paréntesis. Con esas tres razones —igualdad, mínimo común múltiplo, agrupamiento— armás el método completo aunque se te olviden los pasos.